Encontre a Transformada de Laplace Inversa de cada uma das funções abaixo
\frac{3}{s^{2}+3 s-4}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
\frac{3}{s^{2}+3s-4}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Função no domínio de }s:\quad F(s)=\frac{3}{s^{2}+3s-4}.çãí
A tarefa é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, a função no tempo (assumindo t\ge 0).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador quadrático para possibilitar decomposição em frações parciais. Calculamos as raízes de
s^{2}+3s-4=0.
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é \Delta=3^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25, portanto as raízes são
s=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-3\pm5}{2}.
Isso dá s=1 e s=-4. Logo o polinômio fatora-se como
s^{2}+3s-4=(s-1)(s+4).

Passo 3

Agora fazemos decomposição em frações parciais. Queremos constantes A e B tais que
\frac{3}{(s-1)(s+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+4) obtemos
3=A(s+4)+B(s-1)\quad\text{para todo }s.
Para achar A e B de maneira rápida, escolhemos valores de s que anulam termos:
  • Para s=1:
3=A(1+4)+B(0)\implies 3=5A\implies A=\frac{3}{5}.
  • Para s=-4:
3=A(0)+B(-4-1)\implies 3=-5B\implies B=-\frac{3}{5}.
Portanto
\frac{3}{s^{2}+3s-4}=\frac{3/5}{s-1}-\frac{3/5}{s+4}.

Passo 4

Agora usamos a propriedade básica da transformada de Laplace inversa: para constante a,
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\quad(t\ge0).
Aplicando linearidade da transformada inversa a cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3/5}{s-1}\right\}=\frac{3}{5}e^{1\cdot t}=\frac{3}{5}e^{t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{3/5}{s+4}\right\}=-\frac{3}{5}e^{-4t}.
Somando os dois resultados (pela linearidade),
f(t)=\frac{3}{5}e^{t}-\frac{3}{5}e^{-4t}=\frac{3}{5}\bigl(e^{t}-e^{-4t}\bigr),\quad t\ge0.

Passo 5

Checagem rápida (mental): retrotransformando,
\mathcal{L}\{\,\tfrac{3}{5}e^{t}-\tfrac{3}{5}e^{-4t}\,\}=\tfrac{3}{5}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+4}\right) =\frac{3}{5}\cdot\frac{(s+4)-(s-1)}{(s-1)(s+4)} =\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{s^{2}+3s-4}=\frac{3}{s^{2}+3s-4},
confirma que está correto. Força! Você já tem a forma que costuma cair em prova.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{3}{5}\bigl(e^{t}-e^{-4t}\bigr),\; t\ge 0

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