Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é com
constante (geralmente real). Não foi dada figura nem outras restrições; assumimos o domínio usual para a transformada de Laplace (
).
Informações dadas: a função é
Passo 2
Definição (a fórmula que vamos usar): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa (aqui tratamos
real e suficientemente grande para garantir convergência).
Explicando as variáveis: é a variável do tempo/espaço da função original,
é a variável da transformada e
é um parâmetro constante presente em
.
Explicando as variáveis:
Passo 3
Uma propriedade muito útil (que vou derivar de forma simples) é
Derivação rápida para
(é por diferenciação sob o sinal de integral):
Diferenciando em
,
Diferenciando de novo,
Logo para
temos
(Em resumo, para
o sinal fica positivo porque
.)
Passo 4
Aplicamos essa propriedade com
. Primeiro precisamos de
. A transformada conhecida é
válida para
. Aqui
é o parâmetro angular da senoide.
Passo 5
Pelo Passo 3,
Agora vamos calcular as derivadas passo a passo. Defina
Passo 6
Calcule a primeira derivada
. Usando a regra da cadeia:
Passo 7
Calcule a segunda derivada
. Diferenciando
usando a regra do produto:
Agora a derivada interna (produto):
Simplificando o segundo termo:
Então
Multiplicando por
,
Colocando em denominador comum
:
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 8
Concluímos então que
válido para
. (Se quiser decorar: a potência do denominador é
porque multiplicamos por
.)