Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
x^{2} \sin (a x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função \,x^{2}\sin(ax)\,.
Informações dadas: a função é \,f(x)=x^{2}\sin(ax)\, com a constante (geralmente real). Não foi dada figura nem outras restrições; assumimos o domínio usual para a transformada de Laplace ( x\ge 0).

Passo 2

Definição (a fórmula que vamos usar): a transformada de Laplace de uma função f(x) é
\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} f(x)\,dx,
onde s é a variável complexa (aqui tratamos s real e suficientemente grande para garantir convergência).
Explicando as variáveis: x é a variável do tempo/espaço da função original, s é a variável da transformada e a é um parâmetro constante presente em \sin(ax).

Passo 3

Uma propriedade muito útil (que vou derivar de forma simples) é
\mathcal{L}\{x^{n} f(x)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}\big(\mathcal{L}\{f(x)\}(s)\big).
Derivação rápida para n=1,2 (é por diferenciação sob o sinal de integral):
F(s):=\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} f(x)\,dx.
Diferenciando em s,
F'(s)=\int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-s x}\big) f(x)\,dx =\int_{0}^{\infty} (-x)e^{-s x} f(x)\,dx=-\mathcal{L}\{x f(x)\}(s).
Diferenciando de novo,
F''(s)= -\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{x f(x)\}(s) =\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-s x} f(x)\,dx=\mathcal{L}\{x^{2} f(x)\}(s).
Logo para n=2 temos
\mathcal{L}\{x^{2} f(x)\}(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s)=(-1)^{2}\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s).
(Em resumo, para n=2 o sinal fica positivo porque (-1)^{2}=1.)

Passo 4

Aplicamos essa propriedade com f(x)=\sin(ax). Primeiro precisamos de F(s)=\mathcal{L}\{\sin(ax)\}(s). A transformada conhecida é
\mathcal{L}\{\sin(ax)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
válida para \Re(s)>0. Aqui a é o parâmetro angular da senoide.

Passo 5

Pelo Passo 3,
\mathcal{L}\{x^{2}\sin(ax)\}(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right).
Agora vamos calcular as derivadas passo a passo. Defina
F(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 6

Calcule a primeira derivada F'(s). Usando a regra da cadeia:
F'(s)=a\cdot\frac{d}{ds}\big((s^{2}+a^{2})^{-1}\big) = a\cdot(-1)(s^{2}+a^{2})^{-2}\cdot 2s = -\frac{2 a s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 7

Calcule a segunda derivada F''(s). Diferenciando F'(s)=-2a s (s^{2}+a^{2})^{-2} usando a regra do produto:
F''(s)=-2a\cdot\frac{d}{ds}\big(s (s^{2}+a^{2})^{-2}\big).
Agora a derivada interna (produto):
\frac{d}{ds}\big(s (s^{2}+a^{2})^{-2}\big) =(s^{2}+a^{2})^{-2} + s\cdot\big(-2\big)(s^{2}+a^{2})^{-3}\cdot 2s.
Simplificando o segundo termo:
s\cdot\big(-2\big)\cdot 2s\cdot (s^{2}+a^{2})^{-3} = -4 s^{2}(s^{2}+a^{2})^{-3}.
Então
\frac{d}{ds}\big(s (s^{2}+a^{2})^{-2}\big)=(s^{2}+a^{2})^{-2}-4 s^{2}(s^{2}+a^{2})^{-3}.
Multiplicando por -2a,
F''(s)=-2a\left[(s^{2}+a^{2})^{-2}-4 s^{2}(s^{2}+a^{2})^{-3}\right].
Colocando em denominador comum (s^{2}+a^{2})^{3}:
F''(s)=-2a\left[\frac{s^{2}+a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{3}}-\frac{4 s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{3}}\right] =-2a\frac{s^{2}+a^{2}-4s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{3}}.
Simplificando o numerador:
s^{2}+a^{2}-4s^{2}= -3s^{2}+a^{2}=-(3s^{2}-a^{2}).
Portanto
F''(s)=-2a\cdot\frac{-(3s^{2}-a^{2})}{(s^{2}+a^{2})^{3}}=2a\frac{3s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{3}}.

Passo 8

Concluímos então que
\mathcal{L}\{x^{2}\sin(ax)\}(s)=F''(s)=\frac{2a\big(3s^{2}-a^{2}\big)}{(s^{2}+a^{2})^{3}},
válido para \Re(s)>0. (Se quiser decorar: a potência do denominador é 3 porque multiplicamos por x^{2}.)

Resposta

\frac{2a\big(3s^{2}-a^{2}\big)}{(s^{2}+a^{2})^{3}}

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