Expresse a solução do PVI em função de uma convolução:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=g(t), y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime + 3 y^prime + 2 y = g(t)
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y^{\prime}(0) = 0 $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares e a técnica de convolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais usando transformadas de Laplace e como aplicar a convolução para expressar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace transforma uma equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Aplicando a transformada:
Ly'' + 3 Ly' + 2 Ly = Lg(t)
Usando as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 3(s Y(s) - y(0)) + 2 Y(s) = G(s)

Passo 3

Substituímos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $ na equação:
y(0) = 1
Simplificando:
y'(0) = 0
Agrupando os termos com $ Y(s) $:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0 + 3(s Y(s) - 1) + 2 Y(s) = G(s)

Passo 4

Agora, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Podemos fatorar o denominador:
Y(s) = G(s) + s + 3s^2 + 3s + 2
Então:
s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)

Passo 5

Dividimos a fração:
Y(s) = G(s)(s + 1)(s + 2) + s + 3(s + 1)(s + 2)
A segunda fração pode ser simplificada por frações parciais:
s + 3(s + 1)(s + 2) = As + 1 + Bs + 2
Resolvendo para $ A $ e $ B $, encontramos:
A
Então:
B

Passo 6

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo:
y(t) = L^-1G(s)(s + 1)(s + 2) + L^-11s + 1 + L^-12s + 2
Sabemos que:
L^-11s + a = e^-a t
Então:
y(t) = L^-1G(s)(s + 1)(s + 2) + e^-t + 2 e^-2t

Passo 7

A parte L^-1G(s)(s + 1)(s + 2) pode ser entendida como a convolução da resposta ao impulso do sistema com $ g(t) $. A resposta ao impulso, chamada de função de resposta $ h(t) $, é:
g(t)
Portanto, a solução completa é:
h(t)

Resposta

A solução do problema é dada por:
y(t) = (e^-t - e^-2t) * g(t) + e^-t + 2 e^-2t
Onde “*” representa a convolução entre $ e^{-t} - e^{-2t} $ e $ g(t) $.

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