Expresse a solução do PVI em função de uma convolução:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y^{\prime}(0) = 0 $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares e a técnica de convolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais usando transformadas de Laplace e como aplicar a convolução para expressar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace transforma uma equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Aplicando a transformada:
Usando as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas:
Passo 3
Substituímos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $ na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos com $ Y(s) $:
Passo 4
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Podemos fatorar o denominador:
Então:
Passo 5
Dividimos a fração:
A segunda fração pode ser simplificada por frações parciais:
Resolvendo para $ A $ e $ B $, encontramos:
Então:
Passo 6
Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo:
Sabemos que:
Então:
Passo 7
A parte
pode ser entendida como a convolução da resposta ao impulso do sistema com $ g(t) $. A resposta ao impulso, chamada de função de resposta $ h(t) $, é:
Portanto, a solução completa é:
Resposta
A solução do problema é dada por:
Onde “*” representa a convolução entre $ e^{-t} - e^{-2t} $ e $ g(t) $.