Encontre a transformada de Laplace inversa:
\frac{2 s+5}{s^{2}+4 s+3}.

Passo 1

O enunciado fornece a função \dfrac{2s+5}{s^{2}+4s+3} e pede a transformada de Laplace inversa dessa função, isto é, encontrar a função f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2s+5}{s^{2}+4s+3}.
Informações relevantes dadas:
\text{numerador: }2s+5,\qquad \text{denominador: }s^{2}+4s+3.
O objetivo é achar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2s+5}{s^{2}+4s+3}\right\}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o denominador quadrático para ver a forma de frações parciais que vamos usar. Fatoremos
s^{2}+4s+3.
Procuro dois números que multiplicam para 3 e somam para 4: são 1 e 3. Portanto
s^{2}+4s+3=(s+1)(s+3).
Isso é útil porque frações do tipo \dfrac{1}{s+a} têm inversa simples conhecida na tabela da transformada de Laplace.

Passo 3

Agora fazemos decomposição em frações parciais. Escrevo
\frac{2s+5}{(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3},
onde A e B são constantes a determinar. Multiplico ambos os lados por (s+1)(s+3) para obter a identidade polinomial
2s+5 = A(s+3)+B(s+1).

Passo 4

Resolvo a identidade para A e B. Método rápido: escolher valores de s que zerem fatores:
  • Tomando s=-1:
2(-1)+5 = A(-1+3)+B(0) \quad\Rightarrow\quad -2+5=2A \quad\Rightarrow\quad 3=2A,
logo \;A=\dfrac{3}{2}.
  • Tomando s=-3:
2(-3)+5 = A(0)+B(-3+1) \quad\Rightarrow\quad -6+5=-2B \quad\Rightarrow\quad -1=-2B,
logo \;B=\dfrac{1}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{2s+5}{(s+1)(s+3)}=\frac{3/2}{s+1}+\frac{1/2}{s+3}.

Passo 5

Agora uso conhecimento básico da tabela da transformada de Laplace e da linearidade:
  • Regra conhecida: \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a} para s>a (ou em termos gerais, essa é a transformada de e^{-at}).
  • Linearidade: \mathcal{L}\{c\,g(t)\}=c\,\mathcal{L}\{g(t)\} e \mathcal{L}^{-1}\{c\,G(s)\}=c\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando a tabela):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3/2}{s+1}\right\}=\frac{3}{2}e^{-1\cdot t}
e
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/2}{s+3}\right\}=\frac{1}{2}e^{-3\cdot t}.

Passo 6

Verificação rápida (checar para evitar erro algébrico): calculo a transformada de Laplace da combinação obtida (somando os dois termos que inverti separadamente) e vejo se volto à função original:
\mathcal{L}\!\left\{\frac{3}{2}e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-3t}\right\}=\frac{3/2}{s+1}+\frac{1/2}{s+3}.
Colocando sobre o mesmo denominador (s+1)(s+3) o numerador resultante é
\frac{3}{2}(s+3)+\frac{1}{2}(s+1)=\frac{3s+9+s+1}{2}=\frac{4s+10}{2}=2s+5,
que recupera exatamente o numerador original. Portanto a inversa encontrada está correta.

Resposta

\dfrac{3}{2}e^{-t}+\dfrac{1}{2}e^{-3t}

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