Encontre a transformada de Laplace inversa:
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede a transformada de Laplace inversa dessa função, isto é, encontrar a função
tal que
Informações relevantes dadas:
O objetivo é achar
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o denominador quadrático para ver a forma de frações parciais que vamos usar. Fatoremos
Procuro dois números que multiplicam para
e somam para
: são
e
. Portanto
Isso é útil porque frações do tipo
têm inversa simples conhecida na tabela da transformada de Laplace.
Passo 3
Agora fazemos decomposição em frações parciais. Escrevo
onde
e
são constantes a determinar. Multiplico ambos os lados por
para obter a identidade polinomial
Passo 4
Resolvo a identidade para
e
. Método rápido: escolher valores de
que zerem fatores:
- Tomando
:
logo
- Tomando
:
logo
Portanto a decomposição é
Passo 5
Agora uso conhecimento básico da tabela da transformada de Laplace e da linearidade:
- Regra conhecida:
para (ou em termos gerais, essa é a transformada de ). - Linearidade:
e .
Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando a tabela):
e
Passo 6
Verificação rápida (checar para evitar erro algébrico): calculo a transformada de Laplace da combinação obtida (somando os dois termos que inverti separadamente) e vejo se volto à função original:
Colocando sobre o mesmo denominador
o numerador resultante é
que recupera exatamente o numerador original. Portanto a inversa encontrada está correta.