Calcule
I=\iint_{R}\left(x \cos y+y e^{x}\right) d A
na região R=[-2,2] \times[0, \pi)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=\iint_{R}\left(x \cos y + y e^{x}\right)\,dA
na região R=[-2,2]\times[0,\pi).
Informações dadas:
  • A função a integrar é x\cos y + y e^{x}.
  • A região R é um retângulo produto dos intervalos [-2,2] (para x) e [0,\pi) (para y).
  • A variável de integração é a área dA, que em coordenadas retangulares pode ser tratada como dx\,dy ou dy\,dx.
O que é pedido:
  • Calcular numericamente o valor de I.

Passo 2

Estratégia e conceitos importantes (explicação didática):
  • Linearidade da integral dupla: a integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja,
\iint_{R}\big(f+g\big)\,dA=\iint_{R}f\,dA+\iint_{R}g\,dA.
Isso é útil porque nosso integrando é a soma de duas parcelas.
  • Teorema de Fubini (intuição prática para retângulos): se R é um retângulo e a função é integrável, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada. Para uma função da forma F(x,y)=f(x)g(y) definida em um retângulo produto, a integral dupla separa-se em produto de integrais:
\iint_{R}f(x)g(y)\,dA = \left(\int_{x\text{ no intervalo}} f(x)\,dx\right)\left(\int_{y\text{ no intervalo}} g(y)\,dy\right).
Intuição: em um retângulo, integrar uma função que é produto de algo só em x por algo só em y dá o produto das contribuições em cada direção.
Aplicando aqui: a função x\cos y é produto de x (só depende de x) por \cos y (só depende de y); a função y e^{x} é produto de e^{x} (só x) por y (só y). Assim podemos separar cada termo.

Passo 3

Usando linearidade, escrevemos
I=\iint_{R} x\cos y \,dA + \iint_{R} y e^{x}\,dA.
Denotemos
I_1=\iint_{R} x\cos y \,dA,\qquad I_2=\iint_{R} y e^{x}\,dA,
de modo que I=I_1+I_2.

Passo 4

Cálculo de I_1.
Como x\cos y é produto de função de x por função de y e R é produto de intervalos, temos
I_1=\left(\int_{-2}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{\pi} \cos y\,dy\right).
Agora calculamos cada integral separadamente.
Calcule \displaystyle \int_{-2}^{2} x\,dx.
\int_{-2}^{2} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-2}^{2} = \tfrac{2^{2}}{2}-\tfrac{(-2)^{2}}{2}=\tfrac{4}{2}-\tfrac{4}{2}=0.
Observação útil: x é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de 0, por isso a integral dá 0.
Calcule \displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos y\,dy.
\int_{0}^{\pi} \cos y\,dy = \left[\sin y\right]_{0}^{\pi} = \sin\pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0.
Qualquer um dos fatores sendo zero já garante I_1=0. Portanto
I_1 = 0.

Passo 5

Cálculo de I_2.
Como y e^{x} é produto de função de x por função de y, separamos:
I_2=\left(\int_{-2}^{2} e^{x}\,dx\right)\left(\int_{0}^{\pi} y\,dy\right).
Calcule \displaystyle \int_{-2}^{2} e^{x}\,dx.
\int_{-2}^{2} e^{x}\,dx = \left[e^{x}\right]_{-2}^{2} = e^{2}-e^{-2}.
Calcule \displaystyle \int_{0}^{\pi} y\,dy.
\int_{0}^{\pi} y\,dy = \left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi} = \tfrac{\pi^{2}}{2}-0 = \tfrac{\pi^{2}}{2}.
Multiplicando os dois resultados,
I_2 = \left(e^{2}-e^{-2}\right)\cdot \tfrac{\pi^{2}}{2} = \tfrac{\pi^{2}}{2}\left(e^{2}-e^{-2}\right).

Passo 6

Combinação final usando linearidade:
I = I_1 + I_2 = 0 + \tfrac{\pi^{2}}{2}\left(e^{2}-e^{-2}\right) = \tfrac{\pi^{2}}{2}\left(e^{2}-e^{-2}\right).
Força aí — já era! Fizemos passo a passo sem pular as contas principais e usando a separação que o retângulo permite.

Resposta

\displaystyle I=\tfrac{\pi^{2}}{2}\bigl(e^{2}-e^{-2}\bigr)

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