Calcule
na região
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
na região
.
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A região
é um retângulo produto dos intervalos (para ) e (para ). - A variável de integração é a área
, que em coordenadas retangulares pode ser tratada como ou .
O que é pedido:
- Calcular numericamente o valor de
.
Passo 2
Estratégia e conceitos importantes (explicação didática):
- Linearidade da integral dupla: a integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja,
Isso é útil porque nosso integrando é a soma de duas parcelas.
- Teorema de Fubini (intuição prática para retângulos): se
é um retângulo e a função é integrável, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada. Para uma função da forma definida em um retângulo produto, a integral dupla separa-se em produto de integrais:
Intuição: em um retângulo, integrar uma função que é produto de algo só em
por algo só em
dá o produto das contribuições em cada direção.
Aplicando aqui: a função
é produto de
(só depende de
) por
(só depende de
); a função
é produto de
(só
) por
(só
). Assim podemos separar cada termo.
Passo 3
Usando linearidade, escrevemos
Denotemos
de modo que
.
Passo 4
Cálculo de
.
Como é produto de função de
por função de
e
é produto de intervalos, temos
Como
Agora calculamos cada integral separadamente.
Calcule
.
Observação útil:
é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de
, por isso a integral dá
.
Calcule
.
Qualquer um dos fatores sendo zero já garante
. Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
Como é produto de função de
por função de
, separamos:
Como
Calcule
.
Calcule
.
Multiplicando os dois resultados,
Passo 6
Combinação final usando linearidade:
Força aí — já era! Fizemos passo a passo sem pular as contas principais e usando a separação que o retângulo permite.