Encontre a transformada de Laplace inversa:
.
Passo 1
Enunciado: calcular a transformada de Laplace inversa da função
O que nos é dado: a expressão racional em
acima. O que o problema pede: encontrar
, ou seja, a função de
cuja transformada de Laplace é
. Considere
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
Aqui
é a variável no domínio transformado (complexa, mas tratamos como símbolo) e
é a variável temporal. Na prática, para inverter, usamos as inversas:
Explicação da segunda: como
, isolamos
e obtemos a inversa
.
Passo 3
Reescrevemos o denominador para identificar a forma
:
Logo podemos pôr
Definimos
, então
Passo 4
Separamos a fração em termos que combinam com
e
:
Portanto
Passo 5
Aplicamos as inversas termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2:
Assim
Passo 6
Substituímos
e simplificamos os coeficientes:
Calculemos os coeficientes:
e
Portanto obtemos a forma final simplificada:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas bom para ganhar confiança): aplicando a transformada direto a
,
confirmando que a inversa está correta.