Encontre a transformada de Laplace inversa:
\frac{3 s+5}{2 s^{2}+3}.

Passo 1

Enunciado: calcular a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{3s+5}{2s^{2}+3}.
O que nos é dado: a expressão racional em s acima. O que o problema pede: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, ou seja, a função de t cuja transformada de Laplace é F(s). Considere t\ge 0.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui s é a variável no domínio transformado (complexa, mas tratamos como símbolo) e t é a variável temporal. Na prática, para inverter, usamos as inversas:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\cos(at),\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\sin(at).
Explicação da segunda: como \mathcal{L}\{\sin(at)\}=a/(s^{2}+a^{2}), isolamos 1/(s^{2}+a^{2})=(1/a)\cdot a/(s^{2}+a^{2}) e obtemos a inversa (1/a)\sin(at).

Passo 3

Reescrevemos o denominador para identificar a forma s^{2}+a^{2}:
2s^{2}+3=2\Bigl(s^{2}+\frac{3}{2}\Bigr).
Logo podemos pôr
F(s)=\frac{3s+5}{2\bigl(s^{2}+\tfrac{3}{2}\bigr)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3s+5}{s^{2}+\tfrac{3}{2}}.
Definimos a^{2}=\tfrac{3}{2}, então
a=\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.

Passo 4

Separamos a fração em termos que combinam com \frac{s}{s^{2}+a^{2}} e \frac{1}{s^{2}+a^{2}}:
\frac{3s+5}{s^{2}+\tfrac{3}{2}}=3\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}}+5\cdot\frac{1}{s^{2}+a^{2}}.
Portanto
F(s)=\frac{1}{2}\Biggl(3\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}}+5\cdot\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\Biggr).

Passo 5

Aplicamos as inversas termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\Bigr\}=\cos(at), \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\Bigr\}=\frac{1}{a}\sin(at).
Assim
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2}\Bigl(3\cos(at)+5\cdot\frac{1}{a}\sin(at)\Bigr).

Passo 6

Substituímos a=\dfrac{\sqrt{6}}{2} e simplificamos os coeficientes:
f(t)=\frac{1}{2}\,3\cos\!\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2}t\Bigr)+\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}\sin\!\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2}t\Bigr).
Calculemos os coeficientes: \dfrac{1}{2}\cdot 3=\dfrac{3}{2} e
\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{5}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{5}{\sqrt{6}}.
Portanto obtemos a forma final simplificada:
f(t)=\frac{3}{2}\cos\!\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2}t\Bigr)+\frac{5}{\sqrt{6}}\sin\!\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2}t\Bigr).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para ganhar confiança): aplicando a transformada direto a f(t),
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{3}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}\cdot\frac{a}{s^{2}+a^{2}} =\frac{\frac{3}{2}s+\frac{5}{2}}{s^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3s+5}{s^{2}+a^{2}} =\frac{3s+5}{2s^{2}+3},
confirmando que a inversa está correta.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{3}{2}\cos\!\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2}t\Bigr)+\frac{5}{\sqrt{6}}\sin\!\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2}t\Bigr)

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