Um número z in C para o qual f(z)=0 é chamado de um zero da função f dada. Encontre os zeros das funções cos (z), sen(z), cosh (z) e senh(z).
Resp (k+1 / 2) pi ; k pi ;(k+1 / 2) pi j ; k pi j ; com k=0 pm 1, pm 2, cdots

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os zeros (raízes) das funções trigonométricas e hiperbólicas extendidas ao plano complexo: cos(z), sen(z), cosh(z) e senh(z). Vamos usar definições via exponenciais complexas e propriedades do logaritmo todo o tempo.

Passo 2

Para cos(z) usamos a forma exponencial
cos(z)=e^iz+e^-iz2
Queremos cos(z)=0, ou seja
e^iz+e^-iz=0 implies e^2iz=-1
Mas -1=e^i(2k+1)pi, com kinZ. Logo
2iz = i(2k+1)pi + 2mpi i(já absorvido em k) á
Portanto
z=(2k+1)pi2=l(k+tfrac12r)pi,
com kinZ.

Passo 3

Para sen(z) usamos
sin(z)=e^iz-e^-iz2i
Zerando, e^iz-e^-iz=0, dá
e^2iz=1=e^i2kpi implies 2iz = i2kpi implies z=kpi,
com kinZ.

Passo 4

Para cosh(z) temos
cosh(z)=e^z+e^-z2
Zerando, e^z+e^-z=0 implica
e^2z=-1 = e^i(2k+1)pi implies 2z = i(2k+1)pi implies z = il(k+tfrac12r)pi,
com kinZ.

Passo 5

Para senh(z) usamos
sinh(z)=e^z-e^-z2
Zerando, e^z-e^-z=0 implica
e^2z=1 = e^i2kpi implies 2z = i2kpi implies z = ikpi,
com kinZ.

Resposta

cos(z)=0: z=(k+tfrac12)pi, kinZ;
sen(z)=0: z=kpi, kinZ;
cosh(z)=0: z=(k+tfrac12)pi j, kinZ;
senh(z)=0: z=kpi j, kinZ.

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