Encontre a transformada de Laplace inversa das funções:
F(s)=s^2-5s^3+s^2+3 s

Passo 1

O enunciado pede f(t)=L^-1F(s) para
F(s)=s^2-5s^3+s^2+3s
O conteúdo é decomposição em frações parciais seguida de uso das transformadas inversas conhecidas de 1/s, de (s+a)/((s+a)^2+b^2) e de b/((s+a)^2+b^2).

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^3+s^2+3s = s,(s^2+s+3)
Logo propomos
s^2-5s,(s^2+s+3) = As + B,s + Cs^2+s+3
Multiplicando por s(s^2+s+3) obtenho
s^2-5 = A,(s^2+s+3) + (B,s + C),s

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A s^2 + A s + 3A + B s^2 + C s = (A+B),s^2 + (A+C),s + 3A
Comparando coeficientes com s^2-5 dá o sistema
A + B = 1, A + C = 0, 3A = -5
Dessa forma
A = -53, B = 1 - A = 83, C = -A = 53

Passo 4

Reescrevemos a fração não-elementar em termos de s + tfrac12. Temos
B,s + Cs^2+s+3 = tfrac83,s + tfrac53s^2+s+3
Note que
tfrac83,s + tfrac53 = tfrac83l(s+tfrac12r) + l(tfrac53-tfrac83tfrac12r) = tfrac83l(s+tfrac12r)+tfrac13
E ainda
s^2+s+3 = l(s+tfrac12r)^2 + l(tfracraiz112r)^2

Passo 5

Juntando tudo,
F(s) = -53,1s + 83,s+tfrac12(s+tfrac12)^2+(tfracraiz112)^2 + 13,1(s+tfrac12)^2+(tfracraiz112)^2
As transformadas inversas conhecidas são
L^-11/s=1,
L^-1,(s+a)/[(s+a)^2+b^2] = e^-a tcos(bt),
L^-1,b/[(s+a)^2+b^2] = e^-a tsin(bt).
Aqui a=tfrac12 e b=tfracraiz112. Além disso
1(s+tfrac12)^2+(tfracraiz112)^2 = 2raiz11;tfracraiz112(s+tfrac12)^2+(tfracraiz112)^2

Passo 6

Aplicando a transformada inversa termo a termo,
f(t) = -53cdot 1 + 83,e^-t/2cos!l(tfracraiz112,tr) + 13cdot 2raiz11,e^-t/2sin!l(tfracraiz112,tr)

Resposta

f(t) = -53 + 83,e^-t/2cos!l(tfracraiz112,tr) + 23raiz11,e^-t/2sin!l(tfracraiz112,tr)

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