1 (5 pontos). Use um polinômio de Taylor de ordem 1 para estimar o valor de raiz[4]81,02 e avalie o erro.

Passo 1

O enunciado pede para estimar raiz[4]81,02 usando o polinômio de Taylor de ordem 1 da função f(x)=x^1/4. Vamos escolher um ponto a perto de 81,02 em que f(a) e f'(a) sejam fáceis de calcular (por exemplo a=81), e em seguida avaliar o resto de Taylor para estimar o erro.

Passo 2

Calculamos f(a) e f'(a) em a=81:
f(a)=81^1/4=3,
f'(x)=14,x^-3/4 Longrightarrow f'(81)=14cdot81^3/4 =14cdot27 =1108

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 1 em torno de a é
P1(x)=f(a)+f'(a),(x-a)
Tomando x=81,02 e h=x-a=0,02, temos
P1(81,02) =3+1108cdot0,02 =3+0,000185185approx3,000185185

Passo 4

Para estimar o erro usamos o resto na forma de Lagrange:
R1(x) =f''(xi)2(x-a)^2 para algum xiin[81,81,02]
Como
f''(x) =-316,x^-7/4,
no intervalo dado lvert f''(x)rvert atinge valor máximo em x=81:
llvert f''(81)rrvert =316,81^-7/4 =316cdot13^7 =111664
Logo
lvert R1rvert <=12cdot111664,(0,02)^2 =0,000423328 approx1,7times10^-8

Resposta

A estimativa é
raiz[4]81,02approx3,000185185
e o erro máximo estimado é da ordem de 1,7times10^-8.

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