^a Questão. ( 35 pontos) Use o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução do P.V.I.
14 y^prime prime+16 y=8 sen(8 t) y(0)=14, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
14,y'' + 16,y = 8sin(8t), y(0)=tfrac14,;y'(0)=0,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois um particular para o termo forçante e por fim aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

Multiplicando a equação por 4, obtemos a forma padrão da parte homogênea
y'' + 64,y = 0
A equação característica é
r^2 + 64 = 0 Longrightarrow r = pm 8,i,
logo a solução homogênea é
yh(t) = C1cos(8t) + C2sin(8t)

Passo 3

Como o termo forçante é 8sin(8t) e cos(8t), sin(8t) já aparecem na homogênea, postula­mos a forma resonante
yp(t) = A,tcos(8t) + B,tsin(8t)
Calculando yp'' e substituindo em tfrac14yp''+16yp, obtém-se
14,yp'' + 16,yp = 4Bcos(8t) ;-;4Asin(8t)
Para igualar a 8sin(8t), comparamos coeficientes:
4B = 0 Longrightarrow B=0, -4A = 8 Longrightarrow A=-2
Portanto
yp(t) = -2,tcos(8t)

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos(8t) + C2sin(8t) - 2tcos(8t)
Impondo y(0)=tfrac14
y(0) = C1 = tfrac14
Para y'(t) temos
y'(t) = -8C1sin(8t) + 8C2cos(8t) -2cos(8t) +16tsin(8t),
e y'(0)=0 implica
y'(0) = 8C2 -2 = 0 Longrightarrow C2 = tfrac14

Resposta

A solução do P.V.I. é

Exercícios relacionados