Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de
.
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por série de potências em torno de
. Vamos assumir
calcular
e
, substituir na EDO, comparar coeficientes de
e obter uma relação de recorrência para os
.
Passo 2
Escrevemos as séries e substituímos na EDO:
Então
Passo 3
No termo
fazemos
, obtendo
e renomeamos
. Juntando tudo em potências
:
Assim, para cada
,
Como
, vem
Passo 4
A recorrência
implica que todos os coeficientes pares valem
e todos os ímpares valem
. Logo
Passo 5
Reconhecemos séries geométricas para
:
Portanto a solução geral é
onde
e
.