Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de x=0.
(x^2-1) y^prime prime+4 x y^prime+2 y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x^2-1),y''+4x,y'+2y=0
por série de potências em torno de x=0. Vamos assumir
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
calcular y' e y'', substituir na EDO, comparar coeficientes de x^n e obter uma relação de recorrência para os an.

Passo 2

Escrevemos as séries e substituímos na EDO:
y=sumn=0^inftyanx^n, y'=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2
Então
x^2y''=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n, -y''=-sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2,
4xy'=4sumn=1^inftyn,anx^n, 2y=2sumn=0^inftyanx^n

Passo 3

No termo -y'' fazemos n-2=k, obtendo
-sumk=0^infty(k+2)(k+1)ak+2x^k,
e renomeamos kto n. Juntando tudo em potências x^n:
sumn=0^inftyl[n(n-1)+4n+2r]anx^n -sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n=0
Assim, para cada n,
l[n(n-1)+4n+2r]an-(n+2)(n+1)an+2=0
Como n(n-1)+4n+2=n^2+3n+2=(n+1)(n+2), vem
(n+1)(n+2)l(an-an+2r)=0 Longrightarrow an+2=an

Passo 4

A recorrência an+2=an implica que todos os coeficientes pares valem a0 e todos os ímpares valem a1. Logo
y(x)=a0summ=0^inftyx^2m ;+; a1summ=0^inftyx^2m+1

Passo 5

Reconhecemos séries geométricas para lvert xrvert<1:
summ=0^inftyx^2m=11-x^2, summ=0^inftyx^2m+1=x1-x^2
Portanto a solução geral é
y(x)=C111-x^2+C2x1-x^2,
onde C1=a0 e C2=a1.

Resposta

y(x)=C111-x^2+C2x1-x^2, |x|<1

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