Encontre a transformada de Laplace inversa da seguinte função.
1s^2+e^-s(-1s^2+1s)-6 e^-3 ss

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de
F(s)=1s^2+e^-sl(-1s^2+1sr)-6,e^-3ss
O conteúdo aqui é transformar termos básicos 1/s^2 e 1/s e usar a propriedade de deslocamento no tempo (Teorema do retardamento). Vamos precisar da tabela de Laplace e da fórmula
L^-1[e^-asF(s)]=u(t-a)f(t-a),
onde f(t)=L^-1[F(s)] e u(t-a) é a função degrau de Heaviside.

Passo 2

Vamos decompor F(s) em três termos:
F1(s)=1s^2, F2(s)=e^-sl(-1s^2+1sr), F3(s)=-6,e^-3ss
Cada parte a gente inverte separadamente e depois soma.

Passo 3

Sabemos que
L^-1l[1s^2r]=t
Logo o primeiro termo vira simplesmente t.

Passo 4

Para o segundo termo usamos o retardamento:
  1. Primeiro encontramos f(t)=L^-1l[-1/s^2+1/sr]=-t+1
  2. Então
L^-1[e^-s(-1/s^2+1/s)]=u(t-1),f(t-1)=u(t-1)l[-(t-1)+1r]=u(t-1)(-t+2)

Passo 5

Para o terceiro termo temos
L^-1l[1sr]=1
e, aplicando o retardamento com a=3,
L^-1l[e^-3s1sr]=u(t-3)cdot1=u(t-3)
Multiplicando pelo coeficiente -6) -6,u(t-3).

Passo 6

Somando tudo, a solução geral é
f(t)=t+(-t+2),u(t-1)-6,u(t-3)

Resposta

f(t)=t+(-t+2),u(t-1)-6,u(t-3)

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