Encontre a transformada de Laplace inversa da seguinte função.
y=-2 x+x^2+e^-x / 2(cos (raiz3 x / 2)+7 / raiz3 sen(raiz3 x / 2))

Passo 1

Enunciado: a gente tem a função de tempo y(x) = -2x + x^2 + e^-x/2l(cos(tfracraiz32x)+tfrac7raiz3,sin(tfracraiz32x)r) e o objetivo é encontrar a transformada de Laplace Y(s)=Ly(x). Vamos usar a definição básica de transformada de Laplace e algumas propriedades (linearidade, mudança de escala/exponencial e transformadas conhecidas de x^n, e^-axf(x), cos bx e sin bx).

Passo 2

Para o termo -2x, aplicamos a transformada de Laplace de x^n: Lx=1/s^2. Assim
L-2x = -2,1s^2 = -2s^2

Passo 3

Para o termo x^2, usamos Lx^2=2/s^3. Então
Lx^2 = 2s^3

Passo 4

Agora para o termo e^-x/2cos(tfracraiz32x) usamos a propriedade de deslocamento: Le^-axf(x) = F(s+a). E sabemos que
Lcos(tfracraiz32x) = ss^2 + (tfracraiz32)^2 = ss^2 + tfrac34,
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Le^-x/2cos(tfracraiz32x) = s + tfrac12(s + tfrac12)^2 + tfrac34

Passo 5

Para o termo e^-x/2tfrac7raiz3sin(tfracraiz32x), primeiramente Lsin(tfracraiz32x) = tfractfracraiz32s^2 + tfrac34. Multiplicando por tfrac7raiz3 e aplicando deslocamento:
Le^-x/2tfrac7raiz3sin(tfracraiz32x) = 7raiz3cdottfracraiz32(s + tfrac12)^2 + tfrac34 = 7/2(s + tfrac12)^2 + tfrac34

Passo 6

Por fim, somamos todos os pedaços porque a transformada é linear:
Y(s) = -2s^2 + 2s^3 + s + tfrac12(s + tfrac12)^2 + tfrac34 + 7/2(s + tfrac12)^2 + tfrac34

Passo 7

No último passo agrupamos o terceiro e o quarto termos num único quociente:
s + tfrac12(s + tfrac12)^2 + tfrac34 + 7/2(s + tfrac12)^2 + tfrac34 = (s + tfrac12) + tfrac72(s + tfrac12)^2 + tfrac34 = s + 4(s + tfrac12)^2 + tfrac34

Resposta

Y(s) = -2s^2 + 2s^3 + s + 4l(s + tfrac12r)^2 + tfrac34

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