Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a EDO com forçamento pela função delta localizada em
, ou seja:
Temos
O conteúdo principal é a transformada de Laplace, usando também a propriedade de deslocamento para a função delta.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Como as condições iniciais são nulas, valem:
Logo,
Passo 3
Isolamos
:
Aqui usamos que a transformada de
insere o fator
.
Passo 4
Para voltar ao domínio do tempo, notamos que
é a transformada de
, pois
. O fator
gera o deslocamento de Heaviside. Assim,
Em outras palavras, para
temos
e para
aparece o oscilador iniciado em
com amplitude adequada.