Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime prime+4 y=2 de

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO com forçamento pela função delta localizada em x=pi, ou seja:
Temos
y'' + 4y = 2,de
O conteúdo principal é a transformada de Laplace, usando também a propriedade de deslocamento para a função delta.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Como as condições iniciais são nulas, valem:
Ly'' = s^2 Y(s), L4y = 4Y(s), Lde
Logo,
s^2Y(s) + 4Y(s) = 2,e^-pi s

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s) = 2,e^-pi ss^2 + 4
Aqui usamos que a transformada de de insere o fator e^-pi s.

Passo 4

Para voltar ao domínio do tempo, notamos que
2s^2+4
é a transformada de sin(2x), pois Lsin(2x) = 2/(s^2+4). O fator e^-pi s gera o deslocamento de Heaviside. Assim,
y(x) = u(x-pi),sinl(2(x-pi)r)
Em outras palavras, para x temos y=0 e para x>pi aparece o oscilador iniciado em x=pi com amplitude adequada.

Resposta

y(x)=u(x-pi),sinl(2(x-pi)r)

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