Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\frac{15}{s^{2}+25}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função racional em s:
\frac{15}{s^{2}+25}.
Ou seja, precisamos encontrar a função de tempo f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{15}{s^{2}+25}.
Informações dadas: o numerador é 15 e o denominador é s^{2}+25. A tarefa é retornar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{15}{s^{2}+25}\right\}.

Passo 2

Relembrando formulas padrão e propriedades úteis (explicadas passo a passo):
  • Linearidade da transformada de Laplace: para constantes a e b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
Isto permite puxar constantes para fora quando fazemos a inversa também.
  • Fórmulas básicas (que são chave aqui):
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
onde a>0 é uma constante (frequência) e t\ge0 é a variável de tempo.
Explicando: na transformada de \sin(at), a variável a aparece multiplicando o seno no tempo e surge numerador a no domínio s; o denominador fica s^{2}+a^{2}.

Passo 3

Comparar a nossa função com a forma padrão \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}.
No nosso caso o denominador é s^{2}+25, portanto podemos identificar
a^{2}=25 \quad\Rightarrow\quad a=5.
Logo a forma padrão relacionada é \dfrac{5}{s^{2}+5^{2}}, que é exatamente \mathcal{L}\{\sin(5t)\}.

Passo 4

Ajustar a constante do numerador usando linearidade. Escrevemos:
\frac{15}{s^{2}+25}=\frac{15}{s^{2}+5^{2}}.
Agora fatoramos 5 no numerador para aparecer a forma padrão:
\frac{15}{s^{2}+5^{2}}=\frac{15}{5}\cdot\frac{5}{s^{2}+5^{2}}=3\cdot\frac{5}{s^{2}+5^{2}}.
Pelo item anterior, \dfrac{5}{s^{2}+5^{2}}=\mathcal{L}\{\sin(5t)\}. Usando linearidade inversa,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{15}{s^{2}+25}\right\}=3\cdot\sin(5t).

Passo 5

Checagem rápida (verificação): aplicando a transformada de Laplace em 3\sin(5t),
\mathcal{L}\{3\sin(5t)\}=3\cdot\frac{5}{s^{2}+25}=\frac{15}{s^{2}+25},
que bate com o que tínhamos. Ótimo — está consistente.

Passo 6

Observação didática final e exemplos curtos para fixar:
  • Regra prática: sempre tente reconhecer no denominador um termo s^{2}+a^{2}. Se aparecer, a inversa típica é proporcional a \sin(at).
  • Exemplos rápidos:
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+25}\right\}=\cos(5t).
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{10}{s^{2}+25}\right\}=2\sin(5t).

Resposta

\;3\sin(5t)

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