Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função racional em
:
Ou seja, precisamos encontrar a função de tempo
tal que
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. A tarefa é retornar
.
Passo 2
Relembrando formulas padrão e propriedades úteis (explicadas passo a passo):
- Linearidade da transformada de Laplace: para constantes
e e funções ,
Isto permite puxar constantes para fora quando fazemos a inversa também.
- Fórmulas básicas (que são chave aqui):
onde
é uma constante (frequência) e
é a variável de tempo.
Explicando: na transformada de , a variável
aparece multiplicando o seno no tempo e surge numerador
no domínio
; o denominador fica
.
Explicando: na transformada de
Passo 3
Comparar a nossa função com a forma padrão
.
No nosso caso o denominador é
, portanto podemos identificar
Logo a forma padrão relacionada é
, que é exatamente
.
Passo 4
Ajustar a constante do numerador usando linearidade. Escrevemos:
Agora fatoramos
no numerador para aparecer a forma padrão:
Pelo item anterior,
. Usando linearidade inversa,
Passo 5
Checagem rápida (verificação): aplicando a transformada de Laplace em
,
que bate com o que tínhamos. Ótimo — está consistente.
Passo 6
Observação didática final e exemplos curtos para fixar:
- Regra prática: sempre tente reconhecer no denominador um termo
. Se aparecer, a inversa típica é proporcional a . - Exemplos rápidos:
-
. -
.
-