para t\ge 0. Não há nenhuma figura nem dado adicional; a única informação é a expressão acima.
Passo 2
Vou usar o teorema da convolução. Primeiro, enunciado e interpretação do teorema (passo didático):
Se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\}= (f*g)(t),
onde a convolução f*g é definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Explicando as notações: \tau é a variável de integração (tempo intermediário); t é o tempo final onde se avalia a convolução. A convolução combina duas funções no tempo para obter a transformada inversa do produto de suas transformadas.
Calculo a primitiva: \displaystyle \int \sin u\,du = -\cos u. Avaliando de 0 a t:
\int_{0}^{t} \sin u\,du = \bigl(-\cos u\bigr)\Big|_{0}^{t} = -\cos t - \bigl(-\cos 0\bigr) = -\cos t + 1.
Portanto a integral vale 1-\cos t. Observação: essa função está definida para t\ge 0, que é o domínio usual da transformada de Laplace (poder-se-ia escrever (1-\cos t)\,u(t) se quiser explicitar o degrau de Heaviside).
Passo 4
Breve verificação alternativa (cheque rápido, não pedido, mas útil para confiança): fazer frações parciais.
Procuramos constantes A,B,C tais que