Exercício 5. Usando o teorema da convolução, obtenha:
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional em s:
\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}.
Objetivo claro: encontrar a função f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}
para t\ge 0. Não há nenhuma figura nem dado adicional; a única informação é a expressão acima.

Passo 2

Vou usar o teorema da convolução. Primeiro, enunciado e interpretação do teorema (passo didático):
  • Se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\}= (f*g)(t),
onde a convolução f*g é definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Explicando as notações: \tau é a variável de integração (tempo intermediário); t é o tempo final onde se avalia a convolução. A convolução combina duas funções no tempo para obter a transformada inversa do produto de suas transformadas.
Agora identificar fatores que multiplicam em s:
\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)} = \underbrace{\frac{1}{s}}_{F(s)} \cdot \underbrace{\frac{1}{s^{2}+1}}_{G(s)}.
Recordando pares usuais de Laplace (e por que são úteis):
  • \displaystyle \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}. Aqui 1 é a função constante unitária para t\ge0.
  • \displaystyle \mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}.
Portanto, pelas identidades acima, as inversas são:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.

Passo 3

Aplicando o teorema da convolução: seja f(t)=1 e g(t)=\sin t. Então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right\}=(f*g)(t)=\int_{0}^{t} 1\cdot \sin(t-\tau)\,d\tau.
Agora calcular essa integral passo a passo.
Escrevendo a integral:
\int_{0}^{t} \sin(t-\tau)\,d\tau.
Faço a substituição u=t-\tau. Então du=-d\tau. Quando \tau=0, u=t. Quando \tau=t, u=0. Assim
\int_{0}^{t} \sin(t-\tau)\,d\tau = \int_{u=t}^{u=0} \sin u\;(-du) = \int_{0}^{t} \sin u\,du.
Calculo a primitiva: \displaystyle \int \sin u\,du = -\cos u. Avaliando de 0 a t:
\int_{0}^{t} \sin u\,du = \bigl(-\cos u\bigr)\Big|_{0}^{t} = -\cos t - \bigl(-\cos 0\bigr) = -\cos t + 1.
Portanto a integral vale 1-\cos t. Observação: essa função está definida para t\ge 0, que é o domínio usual da transformada de Laplace (poder-se-ia escrever (1-\cos t)\,u(t) se quiser explicitar o degrau de Heaviside).

Passo 4

Breve verificação alternativa (cheque rápido, não pedido, mas útil para confiança): fazer frações parciais.
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{s(s^{2}+1)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+1}.
Multiplicando por s(s^{2}+1) obtemos
1 = A(s^{2}+1)+(Bs+C)s = (A+B)s^{2}+Cs+A.
Comparando coeficientes: A+B=0, C=0, A=1. Logo A=1, B=-1, C=0, e
\frac{1}{s(s^{2}+1)}=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+1}.
As transformadas inversas são 1 e \cos t (pois \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^{2}+1)\}=\cos t ), dando 1-\cos t, confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 5

Resumo prático para a prova (como fazer rápido na hora):
  • Reconheça fatores simples como 1/s e 1/(s^{2}+1).
  • Use o teorema da convolução: a inversa do produto é a convolução dos inversos.
  • Calcule \int_{0}^{t} \sin(t-\tau)\,d\tau — a substituição u=t-\tau e a integral de \sin levam a 1-\cos t.
  • Alternativa rápida: frações parciais também resolvem direto.

Resposta

1-\cos t

Exercícios relacionados