Verifique se a equação abaixo é exata e, em caso afirmativo, resolva-a:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (i) verificar se essa equação é exata; (ii) se for exata, resolvê‑la (encontrar a solução geral).
Informações extraídas do enunciado:
Informações extraídas do enunciado:
-
é o coeficiente que multiplica . -
é o coeficiente que multiplica . - A equação está na forma
.
Passo 2
O que significa ser uma equação exata? Vou explicar com calma. Queremos saber se existe uma função potencial
tal que
Se essa
existir (com derivadas parciais contínuas), então a equação diferencial é equivalente a
ou seja,
é a solução implícita. Uma maneira prática de testar a existência de
é verificar se as derivadas mistas coincidem:
Isto vem de
(teorema da igualdade das derivadas mistas quando são contínuas).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (a explicação do que estou calculando:
é a derivada de
tratando
como constante;
é a derivada de
tratando
como constante).
Como
a condição de exatidão está satisfeita. Conclusão: a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
. A ideia padrão é integrar
em relação a
(tratando
como constante) e depois determinar qualquer função de
que tenha sido omitida pela integração.
Integro
em relação a
:
Faço a integral termo a termo, lembrando que ao integrar em
tratamos
como constante:
Portanto, até uma função arbitrária de
(porque ao integrar em
uma “constante” de integração pode depender de
),
onde
é uma função desconhecida de
apenas.
Passo 5
Agora determinamos
usando a condição
. Calculo
:
Devemos ter
, isto é,
Subtraindo
de ambos os lados:
Integrando, obtemos
. Logo não há termo adicional dependente de
.
Passo 6
Assim a função potencial
(até uma constante aditiva) é
com
constante. A solução implícita geral da equação diferencial exata é
ou seja
Podemos reescrever fatorando
:
que é uma forma mais compacta da solução.
Passo 7
Verificação rápida (confirmação): diferencio implicitamente
para recuperar a equação original. Tomando diferencial de
:
Impondo
obtemos exatamente
ou seja, volta a equação dada — a solução está correta.
Passo 8
Dica para a prova (resumo prático que você pode usar na hora):
- Identifique
e . - Calcule
e . Se forem iguais, a equação é exata. - Integre
em (ou em ), acrescente uma função arbitrária da outra variável e determine essa função usando a igualdade com (ou ). - A solução final é
constante. Isso economiza tempo e evita cálculo desnecessário.