Verifique se a equação abaixo é exata e, em caso afirmativo, resolva-a:
\left(2 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(2 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0
e pede duas coisas: (i) verificar se essa equação é exata; (ii) se for exata, resolvê‑la (encontrar a solução geral).
Informações extraídas do enunciado:
  • M(x,y)=2xy+y^{2} é o coeficiente que multiplica d x.
  • N(x,y)=x^{2}+2xy é o coeficiente que multiplica d y.
  • A equação está na forma M(x,y)\,d x+N(x,y)\,d y=0.

Passo 2

O que significa ser uma equação exata? Vou explicar com calma. Queremos saber se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,y)=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}(x,y)=N(x,y).
Se essa \Phi existir (com derivadas parciais contínuas), então a equação diferencial é equivalente a
d\Phi(x,y)=\frac{\partial \Phi}{\partial x}\,d x+\frac{\partial \Phi}{\partial y}\,d y=0,
ou seja, \Phi(x,y)=\text{constante} é a solução implícita. Uma maneira prática de testar a existência de \Phi é verificar se as derivadas mistas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Isto vem de \Phi_{xy}=\Phi_{yx} (teorema da igualdade das derivadas mistas quando são contínuas).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (a explicação do que estou calculando: \partial M/\partial y é a derivada de M tratando x como constante; \partial N/\partial x é a derivada de N tratando y como constante).
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(2xy+y^{2}\big)=2x+2y,
\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+2xy\big)=2x+2y.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=2x+2y=\frac{\partial N}{\partial x}(x,y),
a condição de exatidão está satisfeita. Conclusão: a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial \Phi(x,y). A ideia padrão é integrar M em relação a x (tratando y como constante) e depois determinar qualquer função de y que tenha sido omitida pela integração.
Integro M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,d x=\int\big(2xy+y^{2}\big)\,d x.
Faço a integral termo a termo, lembrando que ao integrar em x tratamos y como constante:
\int 2xy\,d x = 2y\int x\,d x = 2y\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}y,
\int y^{2}\,d x = y^{2}\int 1\,d x = y^{2}x = x y^{2}.
Portanto, até uma função arbitrária de y (porque ao integrar em x uma “constante” de integração pode depender de y),
\Phi(x,y)=x^{2}y+x y^{2}+C(y),
onde C(y) é uma função desconhecida de y apenas.

Passo 5

Agora determinamos C(y) usando a condição \Phi_{y}=N. Calculo \partial \Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y+x y^{2}+C(y)\big)=x^{2}+2xy+C'(y).
Devemos ter \Phi_{y}=N, isto é,
x^{2}+2xy+C'(y)=x^{2}+2xy.
Subtraindo x^{2}+2xy de ambos os lados:
C'(y)=0.
Integrando, obtemos C(y)=\text{constante}. Logo não há termo adicional dependente de y.

Passo 6

Assim a função potencial \Phi (até uma constante aditiva) é
\Phi(x,y)=x^{2}y+x y^{2}+C,
com C constante. A solução implícita geral da equação diferencial exata é
\Phi(x,y)=\text{constante},
ou seja
x^{2}y+x y^{2}=C.
Podemos reescrever fatorando xy:
xy(x+y)=C,
que é uma forma mais compacta da solução.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação): diferencio implicitamente \Phi(x,y)=C para recuperar a equação original. Tomando diferencial de \Phi:
d\Phi=(2xy+y^{2})\,d x+(x^{2}+2xy)\,d y.
Impondo d\Phi=0 obtemos exatamente
(2xy+y^{2})\,d x+(x^{2}+2xy)\,d y=0,
ou seja, volta a equação dada — a solução está correta.

Passo 8

Dica para a prova (resumo prático que você pode usar na hora):
  • Identifique M e N.
  • Calcule \partial M/\partial y e \partial N/\partial x. Se forem iguais, a equação é exata.
  • Integre M em x (ou N em y), acrescente uma função arbitrária da outra variável e determine essa função usando a igualdade com N (ou M).
  • A solução final é \Phi(x,y)= constante. Isso economiza tempo e evita cálculo desnecessário.

Resposta

x^{2}y+x y^{2}=C

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