Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais:
com
O que o problema pede é a função
definida para
que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.
Passo 2
Vamos recordar o que é a transformada de Laplace e as propriedades que vamos usar (tudo explicado devagarinho).
Definição:
onde
é a variável no domínio do tempo e
é a variável complexa da transformada. Denotamos
.
Propriedades úteis (explicadas):
- Linearidade:
. Ou seja, a transformada age termo a termo. - Transformada de derivadas (muito importante para resolver EDOs com condições iniciais):
Aqui
. Essas fórmulas surgem por integração por partes e incorporam automaticamente as condições iniciais — por isso a Laplace é ótima para problemas de valor inicial.
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Usando linearidade:
Substituo as fórmulas das derivadas e escrevo
:
Agora uso as condições iniciais
e
(peguei esses valores do enunciado) e substituo:
Simplificando:
Agrupando os termos que contêm
e os termos constantes:
Logo
Passo 4
Fatoro o polinômio do denominador para preparar a inversa da transformada:
Portanto
Agora faço decomposição em frações parciais do tipo
Multiplicando ambos os lados por
:
Comparando coeficientes de
e termo constante, obtemos o sistema:
Subtraindo a primeira da segunda dá
. Então
.
Logo
Passo 5
Agora aplico a transformada inversa termo a termo. A transformada inversa básica que usamos é
Assim,
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (útil para confiar no resultado):
- Condições iniciais:
e então . As condições iniciais conferem. - Substituindo na equação: calcular
. Então Agrupando os coeficientes de e :
coeficiente de: ;
coeficiente de: .
Soma zero, então a equação é satisfeita.