Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0 ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais:
y''+3y'+2y=0,
com
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que o problema pede é a função y(t) definida para t\ge 0 que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.

Passo 2

Vamos recordar o que é a transformada de Laplace e as propriedades que vamos usar (tudo explicado devagarinho).
Definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde t é a variável no domínio do tempo e s é a variável complexa da transformada. Denotamos \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s).
Propriedades úteis (explicadas):
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}. Ou seja, a transformada age termo a termo.
  • Transformada de derivadas (muito importante para resolver EDOs com condições iniciais): \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Essas fórmulas surgem por integração por partes e incorporam automaticamente as condições iniciais — por isso a Laplace é ótima para problemas de valor inicial.

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Usando linearidade:
\mathcal{L}\{y''\}+3\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}= \mathcal{L}\{0\}=0.
Substituo as fórmulas das derivadas e escrevo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s):
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+3\big(sY(s)-y(0)\big)+2Y(s)=0.
Agora uso as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0 (peguei esses valores do enunciado) e substituo:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 1-0\big)+3\big(sY(s)-1\big)+2Y(s)=0.
Simplificando:
s^{2}Y(s)-s+3sY(s)-3+2Y(s)=0.
Agrupando os termos que contêm Y(s) e os termos constantes:
Y(s)\big(s^{2}+3s+2\big)-(s+3)=0.
Logo
Y(s)=\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}.

Passo 4

Fatoro o polinômio do denominador para preparar a inversa da transformada:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Portanto
Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}.
Agora faço decomposição em frações parciais do tipo
\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2):
s+3 = A(s+2)+B(s+1) = (A+B)s + (2A+B).
Comparando coeficientes de s e termo constante, obtemos o sistema:
A+B=1,
2A+B=3.
Subtraindo a primeira da segunda dá A=2. Então B=1-A=1-2=-1.
Logo
Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}.

Passo 5

Agora aplico a transformada inversa termo a termo. A transformada inversa básica que usamos é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}(t)=e^{-a t},\quad t\ge 0.
Assim,
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=2\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}(t)-\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}(t).
Portanto
y(t)=2e^{-t}-e^{-2t},\qquad t\ge 0.

Passo 6

Verificação rápida (útil para confiar no resultado):
  • Condições iniciais: y(0)=2-1=1 e y'(t)=-2e^{-t}+2e^{-2t} então y'(0)=-2+2=0. As condições iniciais conferem.
  • Substituindo na equação: calcular y''(t)=2e^{-t}-4e^{-2t}. Então y''+3y'+2y=(2e^{-t}-4e^{-2t})+3(-2e^{-t}+2e^{-2t})+2(2e^{-t}-e^{-2t}).Agrupando os coeficientes de e^{-t} e e^{-2t}:
    coeficiente de e^{-t}: 2-6+4=0;
    coeficiente de e^{-2t}: -4+6-2=0.
    Soma zero, então a equação é satisfeita.

Resposta

y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}

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