Encontre a transformada de Laplace da seguinte função.
12 x^2+3 sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função f(x)=tfrac12x^2+3sin(2x). Esse conteúdo é sobre transformada de Laplace, e vamos precisar da linearidade da transformada e das fórmulas conhecidas para potências e função seno:

Passo 2

Lx^n=n!s^n+1, Lsin(ax)=as^2+a^2

Passo 3

Pela propriedade de linearidade temos
[
\mathcal{L}\Bigl{\tfrac12x^2+3\sin(2x)\Bigr}
=\tfrac12\mathcal{L}{x^2}+3\mathcal{L}{\sin(2x)}

Passo 4

Para calcular Ltfrac12x^2, usamos n=2 em Lx^2=tfrac2!s^3=tfrac2s^3. Multiplicando por tfrac12 resulta
tfrac12cdottfrac2s^3=tfrac1s^3

Passo 5

Para 3Lsin(2x), usamos a=2 em Lsin(2x)=tfrac2s^2+4. Multiplicando por 3 dá
3cdottfrac2s^2+4=tfrac6s^2+4

Passo 6

Somando as duas partes, a transformada de Laplace é
1s^3+6s^2+4

Resposta

1s^3+6s^2+4

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