Uma mola presa a uma massa de 2 kg tem uma constante de amortecimento de
. Uma força de 6 N é necessária para manter a mola esticada
além do seu comprimento natural. A massa, conectada ao sistema, é então 1 m além do seu ponto de repouso e então é solta com velocidade zero. Determine a equação que descreve o movimento da massa a cada instante de tempo, classifique o tipo de amortecimento e faça um gráfico da posição em relação ao tempo.
Passo 1
Vamos chamar de x(t) o deslocamento da massa em metros a partir da posição de repouso, com t em segundos, e queremos achar a equação de movimento sem forçamento, as condições iniciais são x(0)=1 m e x′(0)=0.
Passo 2
A constante elástica k sai de Hooke: a força de 6 N mantém a mola esticada 0,5 m, logo usamos F= k Δx e obtemos k=6/0,5=12 N/m.
Passo 3
Pela segunda lei de Newton mais amortecimento viscoso, a equação é m x′′ + c x′ + k x = 0. Substituindo m=2 kg, c=14 kg/s e k=12 N/m, obtemos
Passo 4
Resolvendo a equação característica r^2 +7r+6=0 achamos as raízes r₁=−1 e r₂=−6. A solução geral é x(t)=C₁e{-t}+C₂e{-6t}.
Passo 5
Usamos as condições x(0)=1⇒C₁+C₂=1 e x′(0)=0⇒−C₁−6C₂=0. Daí C₂=−1/5 e C₁=6/5, ficando
x(t)=\frac{6}{5}e{-t}-\frac{1}{5}e{-6t}.
x(t)=\frac{6}{5}e{-t}-\frac{1}{5}e{-6t}.
Passo 6
Como c=14 é maior que c_crítico=2√(m k)≈9,8, o sistema é superaamortecido.
Passo 7
O gráfico de x(t) é um decaimento monótono sem oscilações, somando dois modos exponenciais que vão a zero à medida que t→∞.
Resposta
O sistema é superaamortecido. O gráfico de x(t) em função de t mostra um decaimento monótono sem oscilações, aproximando-se de zero conforme a soma dos dois termos exponenciais.