O trabalho consiste emn apresentar a solução das seguintés equaçõés diferenciais ordinárias separáveis.
y^prime=y x1+x^2, y>0, x>0.

Passo 1

A EDO dada é y' = y,x1+x^2 com y>0 e x>0. O conteúdo que vamos usar é o método de equações diferenciais separáveis, onde a gente separa todos os termos em y de um lado e em x do outro para depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis movendo y para o denominador de um lado e tudo em x para o outro:
dyy = x1+x^2,dx

Passo 3

Integre ambos os lados. Do lado esquerdo é integral de 1/y, do direito integral de x/(1+x^2):
integral 1y ,dy = integral x1+x^2 ,dx

Passo 4

Calcule cada integral:
  • integral 1y ,dy = ln y.
  • Para integral x1+x^2 ,dx, use substituição u=1+x^2, então du=2x,dx, e a integral vira tfrac12ln(1+x^2). Assim:
ln y = tfrac12ln(1+x^2) + C

Passo 5

Expliquei que C é a constante de integração. Agora exponencie para isolar y:
y = e^ln y = e^tfrac12ln(1+x^2) + C = e^C,(1+x^2)^1/2

Passo 6

Defina C1 = e^C>0 (porque y>0), chegando à forma final de solução geral.

Resposta

y(x) = Craiz1+x^2, C>0

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