Encontre a transformada Laplace da seguinte função.
x^2 e^x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a transformada de Laplace da função f(x)=x^2 e^x. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e vamos usar a definição integral e a propriedade de deslocamento no domínio s.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é dada por
Lf(x)(s)=integral0^inftyf(x),e^-s x,dx
Nesse caso, f(x)=x^2 e^x.

Passo 3

Antes de lidar com o expoente, lembramos que para f(x)=x^n vale
Lx^n(s)=n!s^n+1
Para n=2, isso dá 2!/s^3=2/s^3.

Passo 4

Para tratar o fator e^{x}, usamos o teorema de deslocamento no domínio s: se F(s)=Lf(x)(s), então
Le^a xf(x)(s)=F(s-a)

Passo 5

Aplicando ao nosso caso, temos a=1 e F(s)=2/s^3. Então
Lx^2 e^x(s)=2(s-1)^3,
válido para Re(s)>1.

Resposta

Lx^2 e^x(s)=2(s-1)^3,;Re(s)>1

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