O que é equação complementar? Como ela auxilia na resolução da equação diferencial?
[Stewart, J., Volume 2, Sétima edição, Revisão 17 (pg 1043)]

Passo 1

O enunciado pergunta o que é a equação complementar e como ela ajuda a resolver uma equação diferencial não homogênea do tipo linear.

Passo 2

A equação diferencial linear de ordem n não homogênea pode ser escrita genericamente como
L[y] = y^(n) + an-1(x)y^(n-1) + cdots + a1(x)y' + a0(x)y = g(x)
A equação complementar é justamente a parte homogênea dessa equação, obtida ao fazer g(x)=0. Para escrever a equação complementar, definimos
L[y] = 0
o que leva a
y^(n) + an-1(x)y^(n-1) + cdots + a1(x)y' + a0(x)y = 0
Resolver essa equação homogênea dá as funções fundamentais que formam o espaço das soluções homogêneas.

Passo 3

A solução geral da equação não homogênea é dada pela soma da solução geral da homogênea (que chamamos de solução complementar yc) e de uma solução particular yp da não homogênea:
y(x) = yc(x) + yp(x)
Logo, conhecer yc é essencial porque ele fornece a base onde acrescentamos apenas uma correção particular para ajustar o termo g(x).

Passo 4

Na prática, primeiro resolvemos a equação complementar para encontrar as constantes livres (e a forma geral de yc), e depois buscamos uma yp que satisfaça a equação original. Por fim, combinamos as duas soluções para obter a solução completa.

Resposta

A equação complementar é a parte homogênea (com g(x)=0) de uma equação diferencial linear não homogênea. Ela fornece as funções fundamentais que formam a solução geral homogênea yc, servindo de base para, depois, adicionarmos uma solução particular yp e obtermos a solução geral y=yc+yp.

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