O que é equação complementar? Como ela auxilia na resolução da equação diferencial?
[Stewart, J., Volume 2, Sétima edição, Revisão 17 (pg 1043)]
[Stewart, J., Volume 2, Sétima edição, Revisão 17 (pg 1043)]
Passo 1
O enunciado pergunta o que é a equação complementar e como ela ajuda a resolver uma equação diferencial não homogênea do tipo linear.
Passo 2
A equação diferencial linear de ordem n não homogênea pode ser escrita genericamente como
A equação complementar é justamente a parte homogênea dessa equação, obtida ao fazer
. Para escrever a equação complementar, definimos
o que leva a
Resolver essa equação homogênea dá as funções fundamentais que formam o espaço das soluções homogêneas.
Passo 3
A solução geral da equação não homogênea é dada pela soma da solução geral da homogênea (que chamamos de solução complementar
) e de uma solução particular
da não homogênea:
Logo, conhecer
é essencial porque ele fornece a base onde acrescentamos apenas uma correção particular para ajustar o termo
.
Passo 4
Na prática, primeiro resolvemos a equação complementar para encontrar as constantes livres (e a forma geral de
), e depois buscamos uma
que satisfaça a equação original. Por fim, combinamos as duas soluções para obter a solução completa.
Resposta
A equação complementar é a parte homogênea (com
) de uma equação diferencial linear não homogênea. Ela fornece as funções fundamentais que formam a solução geral homogênea
, servindo de base para, depois, adicionarmos uma solução particular
e obtermos a solução geral
.