O que é um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem?
[Stewart, J., Volume 2, Sétima edição, Revisão 17 (pg 1043)]

Passo 1

A questão quer que a gente entenda e explique o que é um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem.
Em geral, uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma y''(x)=fl(x,,y(x),,y'(x)r), onde a derivada segunda de y em relação a x é dada por uma função f.

Passo 2

Um problema de valor inicial para essa EDO consiste em especificar a própria equação diferencial juntos com duas condições no mesmo ponto x0:
y(x0)=y0 como valor inicial da função,
y'(x0)=v0 como valor inicial da derivada.
Dessa forma, além de resolver a equação diferencial, buscamos a única solução que satisfaça essas duas condições em x0. A Teoria de existência e unicidade garante, sob hipóteses de continuidade de f e de sua derivada em relação a y', que há uma única solução local que satisfaz o PVI.

Resposta

Um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem é a tarefa de encontrar a solução de y''(x)=f(x,y,y') que satisfaça simultaneamente as condições y(x0)=y0 e y'(x0)=v0.

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