Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.
sumn=1^infty 5^-n cos ^2 n

Passo 1

O exercício é de séries numéricas: queremos aproximar a soma infinita da série sumn=1^infty 5^-ncos^2 n usando a soma dos 10 primeiros termos e estimar o erro. Vamos precisar conhecer o termo geral da série, calcular os 10 primeiros valores e usar a comparação com uma série geométrica para o resto.

Passo 2

O termo geral da série é an = 5^-ncos^2 n. Como 0<=cos^2 n<=1, temos que an<=5^-n. Calculamos numericamente os 10 primeiros termos:
&a1=5^-1cos^2(1)approx0,058200, a2=5^-2cos^2(2)approx0,006928, &a3approx0,007841,; a4approx0,0006835,; a5approx0,00002575, &a6approx0,00005902,; a7approx0,000007275,; a8approx0,00000005423, &a9approx0,0000004253,; a10approx0,000000072

Passo 3

Somando os 10 primeiros termos obtemos a aproximação
S10=sumn=1^10anapprox0,0737451

Passo 4

Para estimar o erro R10=sumn=11^inftyan, usamos que an<=5^-n. Então
R10<=sumn=11^infty5^-n=5^-111-1/5=5^-104=14cdot5^10approx2,56times10^-8

Resposta

Aproximação da soma: 0,0737451; estimativa de erro: menor que 2,56×10^{-8}.

Exercícios relacionados