Encontre a transformada de Laplace da seguinte função.
1 / 6 x^3 e^-x+e^3 x cos (raiz6 x)

Passo 1

Temos a função f(x)= (1/6)x^3e^-x+e^3xcos(raiz6,x). O conteúdo aqui é transformada de Laplace, precisaremos usar a linearidade, a fórmula L{xn}=n!/s{n+1} e as propriedades de deslocamento em s (s–shift) para expoentes.

Passo 2

Pela linearidade, L{(1/6)x3e{-x}}=\frac16,L{x3e{-1,x}}. Sabemos que L{x3}=3!/s4=6/s^4 e, pelo deslocamento de s, L{x3e{-1x}}=6/(s+1)^4. Logo multiplicando por 1/6: L{(1/6)x3e{-x}}=1/(s+1)^4.

Passo 3

Agora L{e^{3x}\cos(\sqrt6,x)} usa a fórmula L{\cos(ax)}=s/(s2+a2) e o deslocamento de s para o fator e^{3x}. Primeiro, sem deslocamento, L{\cos(\sqrt6,x)}=s/(s^2+6). Substituindo s→s-3 vem L{e{3x}\cos(\sqrt6,x)}=(s-3)/[(s-3)2+6].

Passo 4

Somando as duas partes pela linearidade da transformada, obtemos a resposta final.

Resposta

F(s)=1(s+1)^4+s-3(s-3)^2+6

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