Resolver as equações polinomiais p(x)=0; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial y=p(x).
(1) p(x)=x^3-3 x+2.

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes da equação polinomial p(x)=0 pelo método de Ruffini e depois traçar um esboço do gráfico de y=p(x). O conteúdo envolve identificação de raízes racionais, divisão sintética e análise de comportamento de função polinomial de grau 3.

Passo 2

Para encontrar raízes racionais, listamos os divisores do termo constante 2: ±1, ±2. Avaliamos p(1):
p(1)=1^3-3cdot1+2=1-3+2=0
Logo, x=1 é raiz de p(x).

Passo 3

Aplicamos agora divisão sintética (Ruffini) por x-1 usando os coeficientes de p(x): 1 (x^3), 0 (x^2), –3 (x), 2 (constante):
r|rrrr 1 & 1 & 0 & -3 & 2 & & 1 & 1 & -2 hline & 1 & 1 & -2 & 0
O quociente é o polinômio x^2 + x - 2 e o resto é zero, confirmando x=1 como raiz.

Passo 4

Agora resolvemos x^2 + x - 2 = 0. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=-1pmraiz1+82=-1pm32
Isso dá as raízes x=1 e x=-2. Portanto, as raízes de p(x) são x=1 (multiplicidade 2) e x=-2.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de y=p(x)=x^3-3x+2 observamos: interceptos em x=-2 (cruzamento) e em x=1 (toque, pois é raiz dupla). Calculamos também alguns valores: p(0)=2, p(-1)=4, p(2)=4. O comportamento para x→-∞ é y→-∞ e para x→+∞ é y→+∞. Assim, o gráfico atravessa o eixo x em -2, sobe até um máximo entre -2 e 1, toca o eixo em 1 e segue subindo.

Passo 6

Com base nessas informações, o esboço mostra uma curva cúbica que cruza o eixo x em x=-2 e tangencia em x=1, partindo de y→-∞ (quando x→-∞) até y→+∞ (quando x→+∞).

Resposta

As raízes de p(x)=x^3-3x+2 são x=-2 e x=1 (com multiplicidade 2). O gráfico começa em y→-∞ para x→-∞, cruza o eixo x em x=-2, atinge um pico, toca o eixo x em x=1 e segue para y→+∞ quando x→+∞.

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