Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\left\{\begin{array}{l}2 t+1, \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 1, \text { se } t \geq 1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função por partes
f(t)=\begin{cases} 2t+1, & 0\le t<1,\\[4pt] 1, & t\ge 1. \end{cases}
Informações dadas:
  • A função é definida em dois ramos: de 0 a 1 vale 2t+1; a partir de 1 vale 1.
  • A tarefa é calcular \mathcal{L}\{f\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Não foi dada nenhuma outra restrição; vamos considerar a região de convergência típica s>0.]

Passo 2

Definição e método: a transformada de Laplace de f é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Como f é por partes com mudança em t=1, o método mais direto (e elementar) é dividir a integral em duas integrais:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{1} e^{-st}(2t+1)\,dt+\int_{1}^{\infty} e^{-st}\cdot 1\,dt.
Vamos calcular cada integral separadamente. Isso evita usar notação de degrau e é o que normalmente se pede em provas.

Passo 3

Calcular a integral no intervalo [0,1]:
I_1=\int_{0}^{1} e^{-st}(2t+1)\,dt = 2\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt + \int_{0}^{1} e^{-st}\,dt.
Primeiro a integral com t: usar integração por partes. Para \displaystyle\int t e^{-st}\,dt tomamos u=t, dv=e^{-st}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim a primitiva é
\int t e^{-st}\,dt = -\frac{t e^{-st}}{s} - \frac{1}{s^{2}}e^{-st} + C.
Agora avaliamos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt = \Big[-\frac{t e^{-st}}{s} - \frac{1}{s^{2}}e^{-st}\Big]_{0}^{1} = \Big(-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}\Big)-\Big(0-\frac{1}{s^{2}}\Big).
Portanto
\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}.
Multiplicando por 2:
2\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt = \frac{2}{s^{2}}-\frac{2e^{-s}}{s}-\frac{2e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 4

Calcular a outra parte em [0,1]:
\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt = \Big[-\frac{1}{s}e^{-st}\Big]_{0}^{1} = -\frac{e^{-s}}{s} + \frac{1}{s}.
Somando as duas contribuições para I_1:
I_1=\frac{2}{s^{2}}-\frac{2e^{-s}}{s}-\frac{2e^{-s}}{s^{2}}+\frac{1}{s}-\frac{e^{-s}}{s}.
Agrupando termos semelhantes:
I_1=\frac{1}{s}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{3e^{-s}}{s}-\frac{2e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 5

Calcular a integral no intervalo [1,\infty):
I_2=\int_{1}^{\infty} e^{-st}\,dt = \Big[-\frac{1}{s}e^{-st}\Big]_{1}^{\infty}.
Para s>0, \lim_{t\to\infty} e^{-st}=0. Então
I_2 = 0 - \Big(-\frac{e^{-s}}{s}\Big) = \frac{e^{-s}}{s}.

Passo 6

Somar I_1 e I_2 para obter \mathcal{L}\{f\}(s):
\mathcal{L}\{f\}(s)=I_1+I_2 =\left(\frac{1}{s}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{3e^{-s}}{s}-\frac{2e^{-s}}{s^{2}}\right)+\frac{e^{-s}}{s}.
Simplificando os termos com e^{-s}:
-\frac{3e^{-s}}{s}+\frac{e^{-s}}{s}=-\frac{2e^{-s}}{s}.
Logo
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{2e^{-s}}{s}-\frac{2e^{-s}}{s^{2}}.
Podemos fatorar (1/s+2/s^{2}) se quiser:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\Big(\frac{1}{s}+\frac{2}{s^{2}}\Big)\Big(1-2e^{-s}\Big),
mas a forma expandida fica mais direta para usar em cálculos. Lembrar: essa expressão é válida para s>0, que garante convergência das integrais.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{2e^{-s}}{s}-\frac{2e^{-s}}{s^{2}} para s>0

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