Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções: f(t)=\left\{\begin{array}{l}2 t+1, \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 1, \text { se } t \geq 1 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função por partes
Vamos calcular cada integral separadamente. Isso evita usar notação de degrau e é o que normalmente se pede em provas.
Passo 3
Calcular a integral no intervalo [0,1]:
I_1=\int_{0}^{1} e^{-st}(2t+1)\,dt = 2\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt + \int_{0}^{1} e^{-st}\,dt.
Primeiro a integral com t: usar integração por partes. Para \displaystyle\int t e^{-st}\,dt tomamos u=t, dv=e^{-st}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim a primitiva é
\int t e^{-st}\,dt = -\frac{t e^{-st}}{s} - \frac{1}{s^{2}}e^{-st} + C.
Agora avaliamos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt = \Big[-\frac{t e^{-st}}{s} - \frac{1}{s^{2}}e^{-st}\Big]_{0}^{1} = \Big(-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}\Big)-\Big(0-\frac{1}{s^{2}}\Big).
Portanto
\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^{2}}.
Multiplicando por 2:
2\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt = \frac{2}{s^{2}}-\frac{2e^{-s}}{s}-\frac{2e^{-s}}{s^{2}}.