Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções: f(t)=\left\{\begin{array}{l}4, \text { se } 0 \leq t<2 \\\\ 0, \text { se } t \geq 2 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função f(t) definida por partes:
f(t)=4 se 0 \le t < 2.
f(t)=0 se t \ge 2.
O que se pede: encontrar a transformada de Laplace de f(t), isto é calcular \mathcal{L}\{f\}(s).
Passo 2
Lembrete: a transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
onde s é uma variável complexa. Para que a integral exista normalmente precisamos de \Re(s)>0 no caso de funções que não crescem exponencialmente; aqui a função é limitada e compactamente suportada, então a condição usual será \Re(s)>0.
Passo 3
Como f(t)=0 para t\ge 2, a integral de 0 a \infty reduz-se à integral de 0 a 2. Assim
válida para \Re(s)>0 (essa condição garante convergência da integral; aqui, dada a função com suporte em [0,2], qualquer s com \Re(s)>-\infty funcionaria, mas adotamos a condição padrão \Re(s)>0).
Passo 7
Observação alternativa (útil para prova): pode-se escrever f(t) usando a função degrau de Heaviside u(t) como
f(t)=4\bigl(u(t)-u(t-2)\bigr).
Usando linearidade e a propriedade de deslocamento \mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-as}G(s), chega-se ao mesmo resultado