Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\left\{\begin{array}{l}4, \text { se } 0 \leq t<2 \\\\ 0, \text { se } t \geq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função f(t) definida por partes:
  • f(t)=4 se 0 \le t < 2.
  • f(t)=0 se t \ge 2.
O que se pede: encontrar a transformada de Laplace de f(t), isto é calcular \mathcal{L}\{f\}(s).

Passo 2

Lembrete: a transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. Para que a integral exista normalmente precisamos de \Re(s)>0 no caso de funções que não crescem exponencialmente; aqui a função é limitada e compactamente suportada, então a condição usual será \Re(s)>0.

Passo 3

Como f(t)=0 para t\ge 2, a integral de 0 a \infty reduz-se à integral de 0 a 2. Assim
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt=\int_{0}^{2} e^{-st}\cdot 4\,dt.
Agora vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 4

Calcular a integral
\int_{0}^{2} 4 e^{-st}\,dt.
Fatorando a constante 4 para fora:
4\int_{0}^{2} e^{-st}\,dt.
A primitiva de e^{-st} em relação a t é -\dfrac{1}{s}e^{-st} (ver abaixo uma rápida justificativa). Portanto, aplicando a integral definida:
4\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{2}.
Justificativa rápida: derivando -\dfrac{1}{s}e^{-st} em t obtém-se -\dfrac{1}{s}(-s)e^{-st}=e^{-st}, então é realmente uma primitiva.

Passo 5

Avaliar a expressão nos limites t=2 e t=0:
4\left(-\frac{1}{s}e^{-2s} - \left(-\frac{1}{s}e^{0}\right)\right) =4\left(-\frac{1}{s}e^{-2s} + \frac{1}{s}\right).

Passo 6

Fatorando \dfrac{4}{s} obtemos a forma simplificada
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{4}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr),
válida para \Re(s)>0 (essa condição garante convergência da integral; aqui, dada a função com suporte em [0,2], qualquer s com \Re(s)>-\infty funcionaria, mas adotamos a condição padrão \Re(s)>0).

Passo 7

Observação alternativa (útil para prova): pode-se escrever f(t) usando a função degrau de Heaviside u(t) como
f(t)=4\bigl(u(t)-u(t-2)\bigr).
Usando linearidade e a propriedade de deslocamento \mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-as}G(s), chega-se ao mesmo resultado
\mathcal{L}\{f\}(s)=4\left(\frac{1}{s}-\frac{e^{-2s}}{s}\right)=\frac{4}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{4}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr)

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