Encontre a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3. Você pode querer olhar os Problemas 16 a 18 na Seção 6.1.
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y''+4y=f(t), y(0)=1,;y'(0)=0,
onde
f(t)= 1,&0<= t<pi, 0,&t>=pi
O objetivo é achar a transformada de Laplace Y(s)=Ly(t). Para isso vamos usar a linearidade da transformada, a fórmula para derivadas e a representação de f(t) via função degrau de Heaviside.
Passo 2
Escrevemos a entrada f(t) em termos da função degrau u(t-pi):
f(t)=1 - u(t-pi),,
pois para 0<= t<pi temos u(t-pi)=0 e para t>=pi temos u(t-pi)=1.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de