Encontre a transformada de Laplace Y(s)=Ly da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3. Você pode querer olhar os Problemas 16 a 18 na Seção 6.1.
y^prime prime+4 y=ll1, & 0 <= t<pi, 0, & pi <= t<infty ; y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y''+4y=f(t), y(0)=1,;y'(0)=0,
onde
f(t)= 1,&0<= t<pi, 0,&t>=pi
O objetivo é achar a transformada de Laplace Y(s)=Ly(t). Para isso vamos usar a linearidade da transformada, a fórmula para derivadas e a representação de f(t) via função degrau de Heaviside.

Passo 2

Escrevemos a entrada f(t) em termos da função degrau u(t-pi):
f(t)=1 - u(t-pi),,
pois para 0<= t<pi temos u(t-pi)=0 e para t>=pi temos u(t-pi)=1.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y''+4y=f(t)
usamos
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)
e
L4y=4Y(s),
Isso dá a equação algébrica
s^2Y(s)-scdot1-0+4Y(s)=Lf(t)

Passo 4

Agora calculamos
Lf(t) =L1-Lu(t-pi) =1s-e^-pi ss

Passo 5

Substituindo em
(s^2+4)Y(s)-s=1s-e^-pi ss
vemos que
(s^2+4)Y(s) =s+1s-e^-pi ss
e daí
Y(s) =ss^2+4 +1s(s^2+4) -e^-pi ss(s^2+4)

Resposta

Y(s) =ss^2+4 +1s,(s^2+4) -e^-pi ss,(s^2+4)

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