Se sen x=13 e sec y=54, onde x e y estão entre 0 e pi / 2, calcule a expressão.
sen(x-y)

Passo 1

O enunciado dá
senx = tfrac13
e
sec y = tfrac54,
com x,yinl(0,tfracpi2r).
Queremos calcular
sen(x - y).
O conteúdo é identidades trigonométricas: vamos usar a fórmula da diferença de arcos e as relações pitagóricas para achar cos x e seny.

Passo 2

Primeiro, de senx=tfrac13 e da identidade
sen^2x+cos^2x = 1
vem
cos x = raiz1 - l(tfrac13r)^2 = raiz1 - tfrac19 = raiztfrac89 = tfrac2raiz23
Como y é agudo, sec y=tfrac54 implica
cos y = 1sec y = tfrac45,
e então
seny = raiz1 - cos^2y = raiz1 - l(tfrac45r)^2 = raiztfrac925 = tfrac35

Passo 3

Usamos a fórmula da diferença de ângulos
sen(x - y) = senx,cos y ;-;cos x,seny
Substituindo os valores:
sen(x - y) = 13cdot45;-;2raiz23cdot35 = 415 ;-;6raiz215 = 4 - 6raiz215

Resposta

sen(x - y) = 4 - 6raiz215

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