Se sen x=13 e sec y=54, onde x e y estão entre 0 e pi / 2, calcule a expressão.
cos (x-y)

Passo 1

O enunciado nos dá sin x=tfrac13 e sec y=tfrac54 com x,yinl(0,tfracpi2r), e pede cos(x-y).
Aqui vamos usar dois ingredientes principais:
  1. O teorema fundamental da trigonometria (num triângulo retângulo unitário) para obter cosenos e senos a partir dos valores dados.
  2. A fórmula de diferença de ângulos
cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y

Passo 2

Como sin x=tfrac13 e x é agudo, temos
cos x=raiz1-sin^2 x =raiz1-l(tfrac13r)^2 =raiztfrac89 =tfrac2raiz23

Passo 3

De sec y=tfrac54 segue
cos y=1sec y=45
Como y também é agudo,
sin y=raiz1-cos^2 y =raiz1-l(tfrac45r)^2 =raiztfrac925 =tfrac35

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de diferença:
cos(x-y) =cos xcos y+sin xsin y =2raiz23cdot45+13cdot35 =8raiz215+315 =8raiz2+315

Resposta

cos(x-y)=8raiz2+315

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