Encontre a transformada de Laplace Y(s)=Ly da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3. Você pode querer olhar os Problemas 16 a 18 na Seção 6.1.
y^prime prime+4 y=llt, & 0 <= t<1, 1, & 1 <= t<infty ; y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+4y=f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde
f(t)= t,&0<= t<1, 1,&t>=1
O conteúdo aqui é usar a transformada de Laplace para resolver EDO com termo forçante descontínuo. Vamos precisar usar a propriedade do degrau de Heaviside para escrever f(t) de forma única, depois transformar ambos os lados e isolar Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em
y''+4y=f(t)
Usando que y(0)=0 e y'(0)=0, obtemos
Ly''+4,Ly =l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r)+4Y(s) =(s^2+4),Y(s)
Logo
(s^2+4),Y(s)=Lf(t)

Passo 3

Escrevemos f(t) com degrau de Heaviside u(t-1). Note que para t>=1 temos valor constante 1, e para t<1 o valor é t. Então
f(t)=tl(1-u(t-1)r)+1cdot u(t-1) =t - t,u(t-1)+u(t-1)

Passo 4

Agora calculamos F(s)=Lf(t). Primeiro
Lt=1s^2,
depois, usando a propriedade de translação em t-1,
Lu(t-1)=e^-s,1s,
e também
Lt,u(t-1) =Ll((t-1+1)u(t-1)r) =e^-s,1s^2+e^-s,1s
Portanto
F(s) =1s^2 -l(e^-s,1s^2+e^-s,1sr) +e^-s,1s =1s^2-e^-ss^2 =1-e^-ss^2

Passo 5

Substituindo F(s) em (s^2+4)Y(s)=F(s), obtemos
Y(s) =F(s)s^2+4 =1-e^-ss^2,(s^2+4)

Resposta

Y(s)=1-e^-ss^2,(s^2+4)

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