Encontre a Transformada de Laplace, usando a integral e apresentando todos Os cálculos:
f(t)=\frac{t}{11}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado f(t)=\dfrac{t}{11}, definida para t\ge 0.
  • Pede-se a Transformada de Laplace de f(t) usando a integral e mostrando todos os cálculos.
  • Informação importante a manter em mente: a Transformada de Laplace envolve um parâmetro s e normalmente existe (converge) para valores de s com parte real suficientemente grande (vamos especificar a condição de convergência durante os cálculos).

Passo 2

Definição que usaremos (aqui explico o conceito antes de aplicar):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
O que isso significa:
  • \mathcal{L}\{f\}(s) é a Transformada de Laplace da função f.
  • A variável de integração é t (tempo); s é o parâmetro (complexo em geral) da transformada.
  • A integral impropria sobre [0,\infty) só faz sentido se convergir; tipicamente para funções polinomiais multiplicadas por e^{-st} a condição de convergência é \Re(s)>0.

Passo 3

Aplicando a definição da transformada à função dada: substituir f(t)=\dfrac{t}{11} na integral.
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\frac{t}{11}\,dt.
Fatorando a constante \dfrac{1}{11} para fora da integral:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{11}\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt.
Logo precisamos calcular a integral imprópria \int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt para os s em que a integral converge.

Passo 4

Cálculo da integral \int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt por integração por partes.
Regra da integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolha conveniente:
  • u=t \Rightarrow du=dt.
  • dv=e^{-s t}\,dt \Rightarrow v=\int e^{-s t}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-s t} (assumindo s\neq 0).
Aplicando:
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = \left. u v \right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du = \left. -\frac{t}{s}e^{-s t} \right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\,dt.
Simplificando os sinais:
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = -\frac{1}{s}\left.\!t\,e^{-s t}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.

Passo 5

Avaliar o termo de fronteira e a integral restante.
Primeiro, o termo de fronteira \left.\!t\,e^{-s t}\right|_{0}^{\infty}:
  • Em t=0 temos t e^{-s t}=0.
  • Em t\to\infty (para \Re(s)>0) vale \lim_{t\to\infty} t e^{-s t}=0. (Razão: a exponencial decai mais rápido que t cresce; pode-se justificar por L’Hôpital ou estimativa t e^{-st}\to 0.)
    Portanto \left.\!t\,e^{-s t}\right|_{0}^{\infty}=0-0=0.
Então a expressão reduz para
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt,
válida para \Re(s)>0.
Agora calcule a integral exponencial:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \left. -\frac{1}{s}e^{-s t} \right|_{0}^{\infty}.
Avaliação das fronteiras (para \Re(s)>0):
  • Em t\to\infty: e^{-s t}\to 0.
  • Em t=0: e^{-s\cdot 0}=1.
    Logo
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = 0 - \left(-\frac{1}{s}\right) = \frac{1}{s}.
Substituindo de volta:
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} = \frac{1}{s^{2}}.

Passo 6

Retornando à transformada com o fator \dfrac{1}{11}:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{11}\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = \frac{1}{11}\cdot\frac{1}{s^{2}} = \frac{1}{11 s^{2}}.
Condição de validade: a dedução usou \Re(s)>0 para garantir a convergência das integrais impróprias, então a igualdade vale para \Re(s)>0.

Passo 7

(Confirmação rápida) Usando a fórmula conhecida \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n=1 obtém-se \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}. Multiplicando por \dfrac{1}{11} recupera \dfrac{1}{11 s^{2}}, coerente com o cálculo por integral.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{11 s^{2}} (válido para \Re(s)>0).

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