Encontre a Transformada de Laplace, usando a integral e apresentando todos Os cálculos: f(t)=\frac{t}{11}
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dado f(t)=\dfrac{t}{11}, definida para t\ge 0.
Pede-se a Transformada de Laplace de f(t) usando a integral e mostrando todos os cálculos.
Informação importante a manter em mente: a Transformada de Laplace envolve um parâmetro s e normalmente existe (converge) para valores de s com parte real suficientemente grande (vamos especificar a condição de convergência durante os cálculos).
Passo 2
Definição que usaremos (aqui explico o conceito antes de aplicar):
\mathcal{L}\{f\}(s) é a Transformada de Laplace da função f.
A variável de integração é t (tempo); s é o parâmetro (complexo em geral) da transformada.
A integral impropria sobre [0,\infty) só faz sentido se convergir; tipicamente para funções polinomiais multiplicadas por e^{-st} a condição de convergência é \Re(s)>0.
Passo 3
Aplicando a definição da transformada à função dada: substituir f(t)=\dfrac{t}{11} na integral.
Avaliar o termo de fronteira e a integral restante.
Primeiro, o termo de fronteira \left.\!t\,e^{-s t}\right|_{0}^{\infty}:
Em t=0 temos t e^{-s t}=0.
Em t\to\infty (para \Re(s)>0) vale \lim_{t\to\infty} t e^{-s t}=0. (Razão: a exponencial decai mais rápido que t cresce; pode-se justificar por L’Hôpital ou estimativa t e^{-st}\to 0.)
Portanto \left.\!t\,e^{-s t}\right|_{0}^{\infty}=0-0=0.
Condição de validade: a dedução usou \Re(s)>0 para garantir a convergência das integrais impróprias, então a igualdade vale para \Re(s)>0.
Passo 7
(Confirmação rápida) Usando a fórmula conhecida \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n=1 obtém-se \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}. Multiplicando por \dfrac{1}{11} recupera \dfrac{1}{11 s^{2}}, coerente com o cálculo por integral.
Resposta
\displaystyle \frac{1}{11 s^{2}} (válido para \Re(s)>0).