Encontre a Transformada de Laplace, usando a integral e apresentando todos Os cálculos: g(t)=\cos (t)
Passo 1
O enunciado dá a função g(t)=\cos(t) e pede para encontrar a Transformada de Laplace usando a integral e mostrando todos os cálculos.
Informações relevantes fornecidas:
A função é g(t)=\cos(t) para t\ge 0 (a transformada é definida a partir de t=0).
É pedido usar a definição integral da Transformada de Laplace e apresentar todos os passos do cálculo.
Será necessário indicar para quais valores do parâmetro s a integral converge (região de convergência).
Passo 2
Definição da Transformada de Laplace e explicação das variáveis (aula rápida e calma).
A Transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
Verificação da convergência da integral (por que precisamos de \operatorname{Re}(s)>0).
A função \cos(t) é limitada: |\cos(t)|\le 1. Então
\left|e^{-st}\cos(t)\right| \le |e^{-st}|.
Se s for real positivo (s>0), então e^{-st} decai exponencialmente e \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt converge; assim a nossa integral converge por comparação. Para s complexo a condição geral de convergência é \operatorname{Re}(s)>0. Portanto a transformada existe para \operatorname{Re}(s)>0. A partir daqui assumimos \operatorname{Re}(s)>0 para justificar as operações com limites.
Passo 4
Estratégia de cálculo: usar integração por partes duas vezes.
Fórmula de integração por partes (lembrete):
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u=u(t), dv=dv(t), du=u'(t)\,dt e v=\int dv. Vou aplicar isso ao integrando e^{-st}\cos t.
Defina a integral que queremos:
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt.
Escolha para a primeira integração por partes:
u=\cos t \Rightarrow du=-\sin t\,dt,
dv=e^{-st}\,dt \Rightarrow v=\int e^{-st}\,dt = -\dfrac{1}{s}e^{-st} (válido para s\neq 0; já assumimos \operatorname{Re}(s)>0, logo s\neq0).
e a integral converge (logo a fórmula é válida) quando \operatorname{Re}(s)>0. Isso é consistente com o fato de que termos exponenciais e^{-st} precisam ter parte real de s positiva para garantir decaimento.
Dica rápida: de forma semelhante, se repetíssemos o processo para \sin(t) obteríamos \mathcal{L}\{\sin(t)\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}, que é um par útil para checar consistência.