Encontre a Transformada de Laplace, usando a integral e apresentando todos Os cálculos:
g(t)=\cos (t)

Passo 1

O enunciado dá a função g(t)=\cos(t) e pede para encontrar a Transformada de Laplace usando a integral e mostrando todos os cálculos.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é g(t)=\cos(t) para t\ge 0 (a transformada é definida a partir de t=0).
  • É pedido usar a definição integral da Transformada de Laplace e apresentar todos os passos do cálculo.
  • Será necessário indicar para quais valores do parâmetro s a integral converge (região de convergência).

Passo 2

Definição da Transformada de Laplace e explicação das variáveis (aula rápida e calma).
A Transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,g(t)\,dt,
onde:
  • t é a variável de tempo (vai de 0 a \infty);
  • s é um parâmetro (geralmente complexo); \mathcal{L}\{g\}(s) é uma função de s;
  • A integral precisa convergir (ou seja, ter valor finito) para que a transformada exista; isso define a região de convergência em s.
No nosso caso:
\mathcal{L}\{\cos(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(t)\,dt.

Passo 3

Verificação da convergência da integral (por que precisamos de \operatorname{Re}(s)>0).
A função \cos(t) é limitada: |\cos(t)|\le 1. Então
\left|e^{-st}\cos(t)\right| \le |e^{-st}|.
Se s for real positivo ( s>0), então e^{-st} decai exponencialmente e \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt converge; assim a nossa integral converge por comparação. Para s complexo a condição geral de convergência é \operatorname{Re}(s)>0. Portanto a transformada existe para \operatorname{Re}(s)>0. A partir daqui assumimos \operatorname{Re}(s)>0 para justificar as operações com limites.

Passo 4

Estratégia de cálculo: usar integração por partes duas vezes.
Fórmula de integração por partes (lembrete):
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u=u(t), dv=dv(t), du=u'(t)\,dt e v=\int dv. Vou aplicar isso ao integrando e^{-st}\cos t.
Defina a integral que queremos:
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt.
Escolha para a primeira integração por partes:
  • u=\cos t \Rightarrow du=-\sin t\,dt,
  • dv=e^{-st}\,dt \Rightarrow v=\int e^{-st}\,dt = -\dfrac{1}{s}e^{-st} (válido para s\neq 0; já assumimos \operatorname{Re}(s)>0, logo s\neq0).

Passo 5

Aplicando integração por partes à integral I(s):
\begin{aligned} I(s) &= \left[u\,v\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du \\\ &= \left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\cos t\right)\Big|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right)(-\,\sin t)\,dt \\\ &= \left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\cos t\right)\Big|_{0}^{\infty} - \dfrac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt. \end{aligned}
Para simplificar a notação, defina também
J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt.
Assim a relação acima fica
I(s)=\left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\cos t\right)\Big|_{0}^{\infty} - \dfrac{1}{s}J(s).

Passo 6

Calcule J(s) por integração por partes (segunda vez). Escolha:
  • u=\sin t \Rightarrow du=\cos t\,dt,
  • dv=e^{-st}\,dt \Rightarrow v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando integração por partes:
\begin{aligned} J(s) &= \left(u\,v\right)\Big|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du \\\ &= \left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\sin t\right)\Big|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right)\cos t\,dt \\\ &= \left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\sin t\right)\Big|_{0}^{\infty} + \dfrac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt \\\ &= \left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\sin t\right)\Big|_{0}^{\infty} + \dfrac{1}{s}I(s). \end{aligned}

Passo 7

Avalie os termos de fronteira (os colchetes) e resolva o sistema para I(s).
Primeiro observe que, por \operatorname{Re}(s)>0, temos
\lim_{t\to\infty} e^{-st}\cos t = 0,\qquad \lim_{t\to\infty} e^{-st}\sin t = 0,
pois e^{-st} decai exponencialmente enquanto \cos t e \sin t são limitadas.
Agora avalie os termos nos limites:
\left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\cos t\right)\Big|_{0}^{\infty} = 0 -\left(-\dfrac{1}{s}\cdot 1\cdot \cos 0\right) = \dfrac{1}{s},
porque \cos 0=1.
\left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\sin t\right)\Big|_{0}^{\infty} = 0 -\left(-\dfrac{1}{s}\cdot 1\cdot \sin 0\right) = 0,
porque \sin 0=0.
Substitua esses valores nas expressões obtidas:
Da relação do Passo 5:
I(s)=\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s}J(s).
Da relação do Passo 6:
J(s)=0 + \dfrac{1}{s}I(s) = \dfrac{1}{s}I(s).
Agora substitua J(s)=\dfrac{1}{s}I(s) na expressão de I(s):
I(s)=\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s}\cdot\left(\dfrac{1}{s}I(s)\right) = \dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s^{2}}I(s).
Coloque os termos com I(s) no mesmo lado:
I(s) + \dfrac{1}{s^{2}}I(s) = \dfrac{1}{s}.
Fatore I(s):
I(s)\left(1+\dfrac{1}{s^{2}}\right)=\dfrac{1}{s}.
Calcule o fator:
1+\dfrac{1}{s^{2}}=\dfrac{s^{2}+1}{s^{2}}.
Logo
I(s)\cdot \dfrac{s^{2}+1}{s^{2}}=\dfrac{1}{s}.
Isolando I(s):
I(s)=\dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{s^{2}}{s^{2}+1}=\dfrac{s}{s^{2}+1}.

Passo 8

Interpretação final e condições: o cálculo mostrou que
\mathcal{L}\{\cos(t)\}(s)=I(s)=\dfrac{s}{s^{2}+1},
e a integral converge (logo a fórmula é válida) quando \operatorname{Re}(s)>0. Isso é consistente com o fato de que termos exponenciais e^{-st} precisam ter parte real de s positiva para garantir decaimento.
Dica rápida: de forma semelhante, se repetíssemos o processo para \sin(t) obteríamos \mathcal{L}\{\sin(t)\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}, que é um par útil para checar consistência.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\cos(t)\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+1},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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