Use a Transformada de Laplace para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Enunciado:
com condições iniciais e . - Reescrevendo a equação diferencial numa forma padrão:
- O que se pede: encontrar a solução
do problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace.
Passo 2
Vou lembrar as definições e fórmulas da Transformada de Laplace que vou usar, explicando o que é cada coisa.
- Definição: para uma função
(assumida suficiente bem-comportada), a Transformada de Laplace é . Aqui é a variável complexa do plano de Laplace e é a imagem de . - Transformadas de derivadas (fórmulas essenciais):
Essas fórmulas surgem da integração por partes e dizem como transformar derivadas em expressões algébricas em
;
e
são as condições iniciais que aparecem nessas fórmulas.
- Também serão úteis as transformadas conhecidas:
E a propriedade de deslocamento: , onde .
Passo 3
Aplicar a Transformada de Laplace à equação diferencial
.
- Seja
. Tomando transformada de cada termo e usando as fórmulas das derivadas: - Substituindo as expressões:
- Agora substituo as condições iniciais
e :
Passo 4
Resolver a equação algébrica em
.
- Juntando termos em
e os termos constantes: - Isolando
:
Passo 5
Preparar
para fazer a transformada inversa. Identificar formas conhecidas.
- Complete o quadrado no denominador:
- Faço a mudança auxiliar
. Então o numerador e o denominador . Assim onde . - Agora reconheço as formas padrão (com
e ):
corresponde a
by the shift property.
- Portanto, escrevo
Passo 6
Fazer a transformada inversa e obter
.
- Usando as correspondências:
- Como
, obtemos - Subtraindo as duas inversas conforme
: - Posso factorar
se quiser:
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (para dar confiança):
- Em
: , , então conforme pedido. - Derivando (rápido): obtemos
. Avaliando em dá , conforme condição inicial.