Use a Transformada de Laplace para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
2 y^{\prime}=y^{\prime \prime}-y, y(0)=1 y^{\prime}(0)=0 :

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Enunciado: 2\,y'(t)=y''(t)-y(t) com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
  • Reescrevendo a equação diferencial numa forma padrão: y''(t)-2\,y'(t)-y(t)=0.
  • O que se pede: encontrar a solução y(t) do problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace.

Passo 2

Vou lembrar as definições e fórmulas da Transformada de Laplace que vou usar, explicando o que é cada coisa.
  • Definição: para uma função y(t) (assumida suficiente bem-comportada), a Transformada de Laplace é \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,y(t)\,dt. Aqui \;s\; é a variável complexa do plano de Laplace e Y(s) é a imagem de y(t).
  • Transformadas de derivadas (fórmulas essenciais): \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=s\,Y(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas surgem da integração por partes e dizem como transformar derivadas em expressões algébricas em s; y(0) e y'(0) são as condições iniciais que aparecem nessas fórmulas.
  • Também serão úteis as transformadas conhecidas: \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(b t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}-b^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(b t)\}(s)=\frac{b}{s^{2}-b^{2}}.E a propriedade de deslocamento: \mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a), onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).

Passo 3

Aplicar a Transformada de Laplace à equação diferencial y''(t)-2\,y'(t)-y(t)=0.
  • Seja Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s). Tomando transformada de cada termo e usando as fórmulas das derivadas: \mathcal{L}\{y''\}(s)-2\,\mathcal{L}\{y'\}(s)-\mathcal{L}\{y\}(s)=0.
  • Substituindo as expressões: \bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)-Y(s)=0.
  • Agora substituo as condições iniciais \,y(0)=1 e \,y'(0)=0: s^{2}Y(s)-s-0-2sY(s)+2-Y(s)=0.

Passo 4

Resolver a equação algébrica em Y(s).
  • Juntando termos em Y(s) e os termos constantes: \bigl(s^{2}-2s-1\bigr)Y(s)-s+2=0.
  • Isolando Y(s): \bigl(s^{2}-2s-1\bigr)Y(s)=s-2,
Y(s)=\frac{s-2}{s^{2}-2s-1}.

Passo 5

Preparar Y(s) para fazer a transformada inversa. Identificar formas conhecidas.
  • Complete o quadrado no denominador: s^{2}-2s-1=(s-1)^{2}-2.
  • Faço a mudança auxiliar u=s-1. Então o numerador s-2=(u+1)-2=u-1 e o denominador (s-1)^{2}-2=u^{2}-2. Assim Y(s)=\frac{u-1}{u^{2}-2}=\frac{u}{u^{2}-2}-\frac{1}{u^{2}-2},onde u=s-1.
  • Agora reconheço as formas padrão (com a=1 e b=\sqrt{2}): \frac{u}{u^{2}-2}=\frac{s-1}{(s-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}} \quad\text{corresponde a}\quad \mathcal{L}\{e^{t}\operatorname{cosh}(\sqrt{2}\,t)\}(s),
\frac{1}{u^{2}-2}=\frac{1}{(\sqrt{2})}\cdot\frac{\sqrt{2}}{u^{2}-(\sqrt{2})^{2}} \quad\text{e}\quad \frac{\sqrt{2}}{u^{2}-(\sqrt{2})^{2}}
corresponde a \mathcal{L}\{e^{t}\operatorname{sinh}(\sqrt{2}\,t)\}(s) by the shift property.
  • Portanto, escrevo Y(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}-\frac{1}{(s-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}.

Passo 6

Fazer a transformada inversa e obter y(t).
  • Usando as correspondências: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s-1}{(s-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\right\}=e^{t}\operatorname{cosh}(\sqrt{2}\,t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\sqrt{2}}{(s-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\right\}=e^{t}\operatorname{sinh}(\sqrt{2}\,t).
  • Como \dfrac{1}{(s-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{(s-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}, obtemos \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{t}\operatorname{sinh}(\sqrt{2}\,t).
  • Subtraindo as duas inversas conforme Y(s): y(t)=e^{t}\operatorname{cosh}(\sqrt{2}\,t)-\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{t}\operatorname{sinh}(\sqrt{2}\,t).
  • Posso factorar e^{t} se quiser: y(t)=e^{t}\!\left(\operatorname{cosh}(\sqrt{2}\,t)-\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{sinh}(\sqrt{2}\,t)\right).

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (para dar confiança):
  • Em t=0: \operatorname{cosh}(0)=1, \operatorname{sinh}(0)=0, então y(0)=e^{0}\bigl(1-0\bigr)=1 conforme pedido.
  • Derivando (rápido): obtemos y'(t)=e^{t}\bigl(\operatorname{cosh}(\sqrt{2}t)-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{sinh}(\sqrt{2}t)\bigr)+e^{t}\bigl(\sqrt{2}\operatorname{sinh}(\sqrt{2}t)-\operatorname{cosh}(\sqrt{2}t)\bigr). Avaliando em t=0 y'(0)=0, conforme condição inicial.

Resposta

y(t)=e^{t}\!\left(\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)\right)

Exercícios relacionados