Questão 4) Considere a função f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)+e^{x^{4}}.
a) Calcule a série de Taylor centrada em 0 associada à função f.
b) Calcule o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)+e^{x^{4}} e pede duas coisas:
(a) Calcular a série de Taylor centrada em 0 associada a f.
(b) Calcular o intervalo de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função é a soma de duas funções: \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right) e e^{x^{4}}.
A expansão pedida é centrada em 0 (ou seja, série de Maclaurin).
Não há informações numéricas adicionais — tudo será obtido via séries conhecidas de \sin e e^{t}.
Passo 2
Lembrete das séries de Taylor (Maclaurin) padrão que vamos usar — aqui explico direitinho o que cada símbolo significa:
Nesta fórmula t é a variável da função \sin, n é o índice da soma (vai de 0 até \infty), o expoente 2n+1 dá apenas potências ímpares de t, e (2n+1)! é o fatorial correspondente.
A série de Maclaurin de e^{t} é
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}.
Aqui t é a variável, n! é o fatorial de n.
Essas séries são obtidas derivando as funções repetidamente em 0 ou lembrando as expansões padrão; ambas são séries de potência centradas em 0.
Passo 3
Agora usamos substituições simples: nas séries acima, tomamos t=x^{2} para \sin e t=x^{4} para e^{t}. Vou explicar por que isso funciona: se uma função g(t) tem série \sum a_n t^n, então g(h(x)) tem série \sum a_n (h(x))^n — ou seja, basta substituir t por h(x).
Aplicando a isto:
Para \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right) substituímos t=x^{2} na série de \sin t. Obtemos
Observação sobre organização: os termos aparecem em potências múltiplas de 2, mas a forma mais limpa e compacta é manter as duas somas separadas como fiz antes.
Passo 6
Vou justificar a forma final e por que ela é a série de Taylor centrada em 0: cada uma das duas séries usadas é a expansão de Maclaurin (série de Taylor em torno de 0) da respectiva função componente. A soma de séries de Maclaurin é a série de Maclaurin da soma das funções (desde que ambas convirjam em algum intervalo comum — aqui, como veremos, convergem para todo x). Assim a expressão em somas é exatamente a série de Taylor procurada.
Passo 7
Agora calculamos o intervalo de convergência. Estratégia didática: podemos usar o teste da razão em cada série separadamente; se cada série convergir para todo x\in\mathbb{R}, a soma também converge para todo \mathbb{R}.
Para a série de e^{x^{4}}: o termo geral é a_n=\dfrac{x^{4n}}{n!}.
Calculo a razão
Quando n\to\infty essa razão tende a 0 para todo x fixo. Pelo teste da razão, a série converge para todo x. Em outras palavras, a série tem raio de convergência infinito.
Para a série de \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right): o termo geral é b_n=(-1)^n\dfrac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.
Calculo a razão em módulo:
Quando n\to\infty isso também tende a 0 para todo x. Pelo teste da razão, essa série também converge para todo x. Logo seu raio de convergência é infinito.
Passo 8
Conclusão sobre o intervalo de convergência: como ambas as séries componentes têm raio de convergência infinito, a série de f(x) (soma das duas) converge para todo x\in\mathbb{R}. O intervalo de convergência é (-\infty,\infty). (Em linguagem técnica: a série tem raio de convergência R=\infty.)
Resposta
a) f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}.
b) \text{Intervalo de convergência: }(-\infty,\infty).ê