Questão 4) Considere a função f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)+e^{x^{4}}.
a) Calcule a série de Taylor centrada em 0 associada à função f.
b) Calcule o intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)+e^{x^{4}} e pede duas coisas:
  • (a) Calcular a série de Taylor centrada em 0 associada a f.
  • (b) Calcular o intervalo de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é a soma de duas funções: \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right) e e^{x^{4}}.
  • A expansão pedida é centrada em 0 (ou seja, série de Maclaurin).
  • Não há informações numéricas adicionais — tudo será obtido via séries conhecidas de \sin e e^{t}.

Passo 2

Lembrete das séries de Taylor (Maclaurin) padrão que vamos usar — aqui explico direitinho o que cada símbolo significa:
  • A série de Maclaurin de \sin t é
\sin t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Nesta fórmula t é a variável da função \sin, n é o índice da soma (vai de 0 até \infty), o expoente 2n+1 dá apenas potências ímpares de t, e (2n+1)! é o fatorial correspondente.
  • A série de Maclaurin de e^{t} é
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}.
Aqui t é a variável, n! é o fatorial de n.
Essas séries são obtidas derivando as funções repetidamente em 0 ou lembrando as expansões padrão; ambas são séries de potência centradas em 0.

Passo 3

Agora usamos substituições simples: nas séries acima, tomamos t=x^{2} para \sin e t=x^{4} para e^{t}. Vou explicar por que isso funciona: se uma função g(t) tem série \sum a_n t^n, então g(h(x)) tem série \sum a_n (h(x))^n — ou seja, basta substituir t por h(x).
Aplicando a isto:
Para \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right) substituímos t=x^{2} na série de \sin t. Obtemos
\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Agora simplificamos a potência: (x^{2})^{2n+1}=x^{4n+2}. Portanto
\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.
Mostro também os primeiros termos para intuição:
\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)=x^{2}-\frac{x^{6}}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\cdots.

Passo 4

Para e^{x^{4}} substituímos t=x^{4} na série de e^{t}. Assim:
e^{x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^{4})^{n}}{n!}.
Simplificando (x^{4})^{n}=x^{4n}, obtemos
e^{x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}.
E os primeiros termos são
e^{x^{4}}=1 + x^{4} + \frac{x^{8}}{2!} + \frac{x^{12}}{3!} + \cdots.

Passo 5

A série de f(x) é a soma termo a termo das duas séries obtidas (soma de séries de potências com a mesma variável). Logo
f(x)=\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)+e^{x^{4}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}.
Também escrevo os primeiros termos combinados para ficar mais claro quais potências aparecem:
f(x)=1 + x^{2} + x^{4} - \frac{x^{6}}{3!} + \frac{x^{8}}{2!} + \frac{x^{10}}{5!} + \frac{x^{12}}{3!} - \frac{x^{14}}{7!} + \cdots.
Observação sobre organização: os termos aparecem em potências múltiplas de 2, mas a forma mais limpa e compacta é manter as duas somas separadas como fiz antes.

Passo 6

Vou justificar a forma final e por que ela é a série de Taylor centrada em 0: cada uma das duas séries usadas é a expansão de Maclaurin (série de Taylor em torno de 0) da respectiva função componente. A soma de séries de Maclaurin é a série de Maclaurin da soma das funções (desde que ambas convirjam em algum intervalo comum — aqui, como veremos, convergem para todo x). Assim a expressão em somas é exatamente a série de Taylor procurada.

Passo 7

Agora calculamos o intervalo de convergência. Estratégia didática: podemos usar o teste da razão em cada série separadamente; se cada série convergir para todo x\in\mathbb{R}, a soma também converge para todo \mathbb{R}.
Para a série de e^{x^{4}}: o termo geral é a_n=\dfrac{x^{4n}}{n!}.
Calculo a razão
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\left|\frac{x^{4(n+1)}/(n+1)!}{x^{4n}/n!}\right| =\frac{|x|^{4}}{n+1}.
Quando n\to\infty essa razão tende a 0 para todo x fixo. Pelo teste da razão, a série converge para todo x. Em outras palavras, a série tem raio de convergência infinito.
Para a série de \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right): o termo geral é b_n=(-1)^n\dfrac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.
Calculo a razão em módulo:
\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| =\frac{|x|^{4}}{(2n+3)(2n+2)}.
Quando n\to\infty isso também tende a 0 para todo x. Pelo teste da razão, essa série também converge para todo x. Logo seu raio de convergência é infinito.

Passo 8

Conclusão sobre o intervalo de convergência: como ambas as séries componentes têm raio de convergência infinito, a série de f(x) (soma das duas) converge para todo x\in\mathbb{R}. O intervalo de convergência é (-\infty,\infty). (Em linguagem técnica: a série tem raio de convergência R=\infty.)

Resposta

a) f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}.
b) \text{Intervalo de convergência: }(-\infty,\infty).ê

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