Use a Transformada de Laplace para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
;
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- Enunciado: resolver o problema de valor inicial
- Pergunta: determinar
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. - Informações relevantes dadas:
- A equação é linear, com coeficientes constantes, não homogênea.
- As condições iniciais são
e . - A função não homogênea é
(usarei nas fórmulas).
Passo 2
Breve aula sobre a Transformada de Laplace e propriedades que vou usar (sem pular etapas).
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
e denoto
.
-
Linearidade:
. -
Transformadas padrão (úteis aqui):
- Transformada de derivadas (essencial para PVIs):
Estas fórmulas aparecem ao integrar por partes a definição da transformada aplicadas a derivadas; elas incorporam as condições iniciais diretamente no espaço
, que é a grande vantagem do método.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Primeiro escrevo a equação em forma adequada:
Agora tomo a transformada de Laplace termo a termo.
- Para
uso a fórmula de derivada:
Substituindo
e
obtém-se
-
Para
é simplesmente . -
Para
uso a fórmula padrão com :
Portanto a transformada da equação é
Passo 4
Resolver a equação algébrica em
.
- Agrupo os termos com
:
- Isolo
:
Agora o objetivo é inverter a transformada termo a termo. O primeiro termo é imediato; o segundo precisa de decomposição parcial para inverter.
Passo 5
Trato o primeiro termo e preparo o segundo para decomposição parcial.
- Primeiro termo:
Sabendo as transformadas inversas:
segue que o inverso desse primeiro termo será
, depois confirmaremos somando o segundo termo.
- Segundo termo:
Faço uma decomposição do tipo
com
e
constantes a determinar.
Passo 6
Determino
e
resolvendo a identidade algébrica.
- Multiplico ambos os lados por
:
- Agrupo coeficientes:
Igualando coeficientes de
e do termo constante:
Da primeira equação
. Substituo na segunda:
Então
.
- Logo a decomposição é
Passo 7
Faço a transformada inversa termo a termo, com explicação das correspondências.
-
Já tínhamos o primeiro termo cujo inverso é
. -
Para os termos da decomposição:
pois
.
Recordando que
, então
Portanto
- Lembre que no
o termo correspondente tinha sinal negativo para , então essa parte contribui com .
Passo 8
Reuno todas as partes para escrever
e verifico as condições iniciais rapidamente (para ganhar confiança no resultado).
- Somando as inversas:
- Agrupo os termos em
:
- Portanto
- Verificação rápida das condições iniciais:
- Em
: OK. - Derivando
:
Em : OK. - Em
Tudo confere.