Use a Transformada de Laplace para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
y^{\prime \prime}=\operatorname{sen}(2 t)-y, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=1;

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Enunciado: resolver o problema de valor inicial
y''=\operatorname{sen}(2t)-y,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=1.
  • Pergunta: determinar y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
  • Informações relevantes dadas:
    • A equação é linear, com coeficientes constantes, não homogênea.
    • As condições iniciais são y(0)=2 e y'(0)=1.
    • A função não homogênea é \operatorname{sen}(2t) (usarei \sin(2t) nas fórmulas).

Passo 2

Breve aula sobre a Transformada de Laplace e propriedades que vou usar (sem pular etapas).
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
e denoto \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s).
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Transformadas padrão (úteis aqui):
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
  • Transformada de derivadas (essencial para PVIs):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Estas fórmulas aparecem ao integrar por partes a definição da transformada aplicadas a derivadas; elas incorporam as condições iniciais diretamente no espaço s, que é a grande vantagem do método.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Primeiro escrevo a equação em forma adequada:
y''+y=\sin(2t).
Agora tomo a transformada de Laplace termo a termo.
  • Para \mathcal{L}\{y''(t)\} uso a fórmula de derivada:
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Substituindo y(0)=2 e y'(0)=1 obtém-se
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-2s-1.
  • Para \mathcal{L}\{y(t)\} é simplesmente Y(s).
  • Para \mathcal{L}\{\sin(2t)\} uso a fórmula padrão com a=2:
\mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\frac{2}{s^{2}+4}.
Portanto a transformada da equação é
s^{2}Y(s)-2s-1 + Y(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 4

Resolver a equação algébrica em Y(s).
  • Agrupo os termos com Y(s):
(s^{2}+1)Y(s)- (2s+1)=\frac{2}{s^{2}+4}.
  • Isolo Y(s):
(s^{2}+1)Y(s)=2s+1+\frac{2}{s^{2}+4}.
Y(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+1}+\frac{2}{(s^{2}+4)(s^{2}+1)}.
Agora o objetivo é inverter a transformada termo a termo. O primeiro termo é imediato; o segundo precisa de decomposição parcial para inverter.

Passo 5

Trato o primeiro termo e preparo o segundo para decomposição parcial.
  • Primeiro termo:
\frac{2s+1}{s^{2}+1}=\frac{2s}{s^{2}+1}+\frac{1}{s^{2}+1}.
Sabendo as transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t,
segue que o inverso desse primeiro termo será 2\cos t + \sin t, depois confirmaremos somando o segundo termo.
  • Segundo termo:
\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}.
Faço uma decomposição do tipo
\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s^{2}+1}+\frac{B}{s^{2}+4},
com A e B constantes a determinar.

Passo 6

Determino A e B resolvendo a identidade algébrica.
  • Multiplico ambos os lados por (s^{2}+1)(s^{2}+4):
2 = A(s^{2}+4)+B(s^{2}+1).
  • Agrupo coeficientes:
2 = (A+B)s^{2} + (4A+B).
Igualando coeficientes de s^{2} e do termo constante:
A+B=0,
4A+B=2.
Da primeira equação B=-A. Substituo na segunda:
4A+(-A)=2\quad\Rightarrow\quad 3A=2\quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{3}.
Então B=-\frac{2}{3}.
  • Logo a decomposição é
\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{2/3}{s^{2}+1}-\frac{2/3}{s^{2}+4}.

Passo 7

Faço a transformada inversa termo a termo, com explicação das correspondências.
  • Já tínhamos o primeiro termo cujo inverso é 2\cos t+\sin t.
  • Para os termos da decomposição:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2/3}{s^{2}+1}\right\}=\frac{2}{3}\sin t,
pois \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+1)\}=\sin t.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2/3}{s^{2}+4}\right\}=\frac{2}{3}\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}.
Recordando que \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}, então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin(2t).
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2/3}{s^{2}+4}\right\}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\frac{1}{3}\sin(2t).
  • Lembre que no Y(s) o termo correspondente tinha sinal negativo para B, então essa parte contribui com -\dfrac{1}{3}\sin(2t).

Passo 8

Reuno todas as partes para escrever y(t) e verifico as condições iniciais rapidamente (para ganhar confiança no resultado).
  • Somando as inversas:
y(t)=2\cos t+\sin t+\frac{2}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t).
  • Agrupo os termos em \sin t:
\sin t+\frac{2}{3}\sin t=\frac{5}{3}\sin t.
  • Portanto
y(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t).
  • Verificação rápida das condições iniciais:
    • Em t=0: y(0)=2\cdot1+0-0=2 OK.
    • Derivando y(t):
    y'(t)=-2\sin t+\frac{5}{3}\cos t-\frac{1}{3}\cdot 2\cos(2t)=-2\sin t+\frac{5}{3}\cos t-\frac{2}{3}\cos(2t).Em t=0: y'(0)=0+\frac{5}{3}-\frac{2}{3}=1 OK.
Tudo confere.

Resposta

y(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t)

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