Encontre a transformada (mostrando os detalhes do que fizer e indicando o método ou formula que estiver usando):
e^-t sen 2 t

Passo 1

O exercício pede a transformada de Laplace de e^-tsin(2t). O conteúdo que vamos usar é a transformada de Laplace de funções do tipo sin(omega t) e a propriedade de deslocamento no eixo s.

Passo 2

Primeiro, recordamos a fórmula básica da transformada de Laplace de sin(omega t):
Lsin(omega t)(s) =integral0^infty e^-stsin(omega t),dt =omegas^2+omega^2
No nosso caso, omega=2, então:
Lsin(2t)(s) =2s^2+4

Passo 3

Agora usamos a propriedade de deslocamento no domínio s: se F(s)= Lf(t)(s), então
Le^atf(t)(s)=F(s-a)
Aqui temos a=-1 (pois e^-t=e^(-1)t) e f(t)=sin(2t). Assim basta substituir s por s-(-1)=s+1 em F(s)=2/(s^2+4).

Passo 4

Fazendo a troca, obtemos:
Le^-tsin(2t)(s) =2(s+1)^2+4
A região de convergência será Re(s)>-1, mas normalmente nos interessa o resultado algébrico acima.

Resposta

2(s+1)^2+4

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