Encontre as transformadas de Fourier dos seguintes sinais contínuos:
f(x, y)=\operatorname{sen}(2 \pi a x) \cos (2 \pi b y)

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a transformada de Fourier 2D do sinal contínuo
f(x,y)=\operatorname{sen}(2\pi a x)\cos(2\pi b y).
Informações dadas e suposições implícitas:
  • a e b são constantes reais (frequências espaciais).
  • O domínio das variáveis x,y é todo o plano (-\infty,\infty).
  • Queremos a transformada de Fourier em termos das variáveis de frequência, que chamarei de u e v.

Passo 2

Defino a transformada de Fourier 2D que vou usar (convenção usual em processamento de sinais):
F(u,v)=\iint_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,e^{-j2\pi(ux+vy)}\,dx\,dy.
Explicando essa fórmula: F(u,v) é a representação de frequência do sinal; aqui u é a frequência associada a x e v à frequência associada a y. O fator e^{-j2\pi(ux+vy)} é o núcleo complexo que projeta o sinal nas componentes de frequência (u,v).

Passo 3

Vou escrever \operatorname{sen} e \cos como exponenciais complexas (fórmula de Euler). Lembrando:
\operatorname{sen}(2\pi a x)=\frac{e^{j2\pi a x}-e^{-j2\pi a x}}{2j}, \qquad \cos(2\pi b y)=\frac{e^{j2\pi b y}+e^{-j2\pi b y}}{2}.
Explicando: isso transforma funções trigonométricas em combinações lineares de exponenciais, o que facilita a integração com o núcleo exponencial da transformada.

Passo 4

Multiplico as duas expressões para obter f(x,y) como soma de exponenciais:
\begin{aligned} f(x,y) &=\frac{1}{2j}\cdot\frac{1}{2}\bigl(e^{j2\pi a x}-e^{-j2\pi a x}\bigr)\bigl(e^{j2\pi b y}+e^{-j2\pi b y}\bigr)\\[4pt] &=\frac{1}{4j}\Bigl(e^{j2\pi(a x + b y)} + e^{j2\pi(a x - b y)} - e^{j2\pi(-a x + b y)} - e^{j2\pi(-a x - b y)}\Bigr). \end{aligned}
Comentário curto: agora f é soma de quatro exponenciais separáveis em x e y, prontas para integrar.]

Passo 5

Substituo essa expressão na definição da transformada e uso linearidade para separar os termos:
\begin{aligned} F(u,v) &=\iint f(x,y)\,e^{-j2\pi(ux+vy)}\,dx\,dy\\[4pt] &=\frac{1}{4j}\iint\Bigl(e^{j2\pi(a x + b y)} + e^{j2\pi(a x - b y)} - e^{j2\pi(-a x + b y)} - e^{j2\pi(-a x - b y)}\Bigr)e^{-j2\pi(ux+vy)}\,dx\,dy. \end{aligned}
Cada produto exponencial se separa em fatores em x e y. Por exemplo, para o primeiro termo:
\iint e^{j2\pi(a x + b y)}e^{-j2\pi(ux+vy)}\,dx\,dy =\iint e^{-j2\pi\bigl((u-a)x+(v-b)y\bigr)}\,dx\,dy.]

Passo 6

Usarei a identidade (no sentido de distribuições)
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi (u-a)x}\,dx = \delta(u-a),
onde \delta é a função delta de Dirac. Assim, a integral dupla separável satisfaz
\iint e^{-j2\pi\bigl((u-a)x+(v-b)y\bigr)}\,dx\,dy = \delta(u-a)\,\delta(v-b).
Aplicando essa identidade a todos os termos (note que \delta(-t)=\delta(t)), obtemos diretamente as deltas nos pontos das frequências correspondentes.

Passo 7

Agora escrevo F(u,v) juntando os resultados dos quatro termos:
\begin{aligned} F(u,v) &=\frac{1}{4j}\Bigl(\delta(u-a)\delta(v-b)+\delta(u-a)\delta(v+b)\\\ &\qquad\qquad\;-\delta(u+a)\delta(v-b)-\delta(u+a)\delta(v+b)\Bigr). \end{aligned}
Posso fatorar para uma forma mais compacta:
F(u,v)=\frac{1}{4j}\bigl(\delta(v-b)+\delta(v+b)\bigr)\bigl(\delta(u-a)-\delta(u+a)\bigr).
Também é comum escrever 1/(4j)=-\dfrac{j}{4}, obtendo
F(u,v)=-\frac{j}{4}\bigl(\delta(v-b)+\delta(v+b)\bigr)\bigl(\delta(u-a)-\delta(u+a)\bigr).

Passo 8

Resumo interpretativo (rápido): a transformada é uma combinação pontual (somatória de deltas) nas frequências (u,v)=(\pm a,\pm b). Os sinais e fatores complexos vêm da decomposição em exponenciais (seno gera diferença de deltas em u; cosseno gera soma de deltas em v).

Resposta

F(u,v)=\frac{1}{4j}\Bigl(\delta(u-a)\delta(v-b)+\delta(u-a)\delta(v+b)-\delta(u+a)\delta(v-b)-\delta(u+a)\delta(v+b)\Bigr)
\text{(equivalente)}\quad F(u,v)=-\frac{j}{4}\bigl(\delta(v-b)+\delta(v+b)\bigr)\bigl(\delta(u-a)-\delta(u+a)\bigr)

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