Encontre as transformadas de Fourier dos seguintes sinais contínuos:
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a transformada de Fourier 2D do sinal contínuo
Informações dadas e suposições implícitas:
-
e são constantes reais (frequências espaciais). - O domínio das variáveis
é todo o plano . - Queremos a transformada de Fourier em termos das variáveis de frequência, que chamarei de
e .
Passo 2
Defino a transformada de Fourier 2D que vou usar (convenção usual em processamento de sinais):
Explicando essa fórmula:
é a representação de frequência do sinal; aqui
é a frequência associada a
e
à frequência associada a
. O fator
é o núcleo complexo que projeta o sinal nas componentes de frequência
.
Passo 3
Vou escrever
e
como exponenciais complexas (fórmula de Euler). Lembrando:
Explicando: isso transforma funções trigonométricas em combinações lineares de exponenciais, o que facilita a integração com o núcleo exponencial da transformada.
Passo 4
Multiplico as duas expressões para obter
como soma de exponenciais:
Comentário curto: agora
é soma de quatro exponenciais separáveis em
e
, prontas para integrar.]
Passo 5
Substituo essa expressão na definição da transformada e uso linearidade para separar os termos:
Cada produto exponencial se separa em fatores em
e
. Por exemplo, para o primeiro termo:
Passo 6
Usarei a identidade (no sentido de distribuições)
onde
é a função delta de Dirac. Assim, a integral dupla separável satisfaz
Aplicando essa identidade a todos os termos (note que
), obtemos diretamente as deltas nos pontos das frequências correspondentes.
Passo 7
Agora escrevo
juntando os resultados dos quatro termos:
Posso fatorar para uma forma mais compacta:
Também é comum escrever
, obtendo
Passo 8
Resumo interpretativo (rápido): a transformada é uma combinação pontual (somatória de deltas) nas frequências
. Os sinais e fatores complexos vêm da decomposição em exponenciais (seno gera diferença de deltas em
; cosseno gera soma de deltas em
).