Encontre as transformadas de Fourier dos seguintes sinais contínuos:
c(x, y)=\cos \left[2 \pi\left(u_{0} x+v_{0} y\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier do sinal contínuo
c(x,y)=\cos\!\left[2\pi\big(u_{0}x+v_{0}y\big)\right].
Informações dadas:
\text{função: } c(x,y)=\cos\!\left[2\pi(u_{0}x+v_{0}y)\right],çã
onde u_{0} e v_{0} são constantes (constantes espaciais de frequência).
Pergunta: determinar a transformada de Fourier bidimensional C(u,v) de c(x,y).

Passo 2

Escolho e declaro a convenção de transformada de Fourier 2D que vou usar (é necessário porque existem várias convenções). A convenção escolhida é a mais comum em processamento de sinais com fator 2\pi no expoente:
C(u,v)=\iint_{-\infty}^{\infty} c(x,y)\,e^{-2\pi i(ux+vy)}\,dx\,dy.
Explicando: C(u,v) é a representação no domínio das frequências, com u e v sendo as frequências espaciais correspondentes a x e y. Essa escolha é conveniente porque a função já tem 2\pi(u_{0}x+v_{0}y), o que simplifica contas.

Passo 3

Vou usar a fórmula de Euler para escrever o cosseno como soma de exponenciais complexas (isso facilita muito a transformada, porque a transformada de uma exponencial complexa é um impulso):
\cos\!\left[2\pi(u_{0}x+v_{0}y)\right]=\frac{1}{2}\,e^{\,2\pi i(u_{0}x+v_{0}y)}+\frac{1}{2}\,e^{-2\pi i(u_{0}x+v_{0}y)}.
Explicando a fórmula de Euler: \cos\theta=(e^{i\theta}+e^{-i\theta})/2. Aqui \theta=2\pi(u_{0}x+v_{0}y).

Passo 4

Por linearidade da transformada, a transformada de c(x,y) é a soma das transformadas das duas exponenciais multiplicadas por 1/2. Ou seja,
C(u,v)=\frac{1}{2}\,T_1(u,v)+\frac{1}{2}\,T_2(u,v),
onde
T_1(u,v)=\iint e^{2\pi i(u_{0}x+v_{0}y)}\,e^{-2\pi i(ux+vy)}\,dx\,dy
e
T_2(u,v)=\iint e^{-2\pi i(u_{0}x+v_{0}y)}\,e^{-2\pi i(ux+vy)}\,dx\,dy.

Passo 5

Simplifico os expoentes dentro das integrais:
T_1(u,v)=\iint e^{-2\pi i\big((u-u_{0})x+(v-v_{0})y\big)}\,dx\,dy
e
T_2(u,v)=\iint e^{-2\pi i\big((u+u_{0})x+(v+v_{0})y\big)}\,dx\,dy.
Agora uso a propriedade conhecida da transformada: a integral
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i a x}\,dx
é a representação da distribuição de Dirac \delta(a). Assim, a integral dupla separa em produto de duas deltas:
T_1(u,v)=\delta(u-u_{0})\,\delta(v-v_{0})
e
T_2(u,v)=\delta(u+u_{0})\,\delta(v+v_{0}).
Explicando a ideia: cada integral em x ou y “avaliza” a frequência quando seus argumentos se anulam, gerando um impulso (delta) naquelas coordenadas de frequência.

Passo 6

Substituindo T_1 e T_2 em C(u,v) obtemos:
C(u,v)=\frac{1}{2}\,\delta(u-u_{0})\,\delta(v-v_{0})+\frac{1}{2}\,\delta(u+u_{0})\,\delta(v+v_{0}).
Interpretação física: a função cosseno espacial corresponde no domínio de frequência a dois impulsos (spikes) localizados nas frequências (u_{0},v_{0}) e (-u_{0},-v_{0}), cada um com amplitude 1/2. Isso reflete que um cosseno é a soma de duas ondas complexas com frequências opostas.

Passo 7

Observações didáticas e exemplos simples:
  • Em 1D, a analogia é que \cos(2\pi u_{0}x) tem transformada \tfrac{1}{2}\delta(u-u_{0})+\tfrac{1}{2}\delta(u+u_{0}). Aqui apenas estendemos para 2D e usamos produto de deltas para as duas coordenadas.
  • Importante: o resultado é uma distribuição (contém deltas), não uma função convencional; isso é esperado para sinais puramente sinusoidais infinitos em extensão.

Resposta

\displaystyle C(u,v)=\tfrac{1}{2}\,\delta(u-u_{0})\,\delta(v-v_{0})+\tfrac{1}{2}\,\delta(u+u_{0})\,\delta(v+v_{0})

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