Encontre as transformadas de Fourier dos seguintes sinais contínuos:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier do sinal contínuo
Informações dadas:
onde
e
são constantes (constantes espaciais de frequência).
Pergunta: determinar a transformada de Fourier bidimensional de
.
Pergunta: determinar a transformada de Fourier bidimensional
Passo 2
Escolho e declaro a convenção de transformada de Fourier 2D que vou usar (é necessário porque existem várias convenções). A convenção escolhida é a mais comum em processamento de sinais com fator
no expoente:
Explicando:
é a representação no domínio das frequências, com
e
sendo as frequências espaciais correspondentes a
e
. Essa escolha é conveniente porque a função já tem
, o que simplifica contas.
Passo 3
Vou usar a fórmula de Euler para escrever o cosseno como soma de exponenciais complexas (isso facilita muito a transformada, porque a transformada de uma exponencial complexa é um impulso):
Explicando a fórmula de Euler:
. Aqui
.
Passo 4
Por linearidade da transformada, a transformada de
é a soma das transformadas das duas exponenciais multiplicadas por
. Ou seja,
onde
e
Passo 5
Simplifico os expoentes dentro das integrais:
e
Agora uso a propriedade conhecida da transformada: a integral
é a representação da distribuição de Dirac
. Assim, a integral dupla separa em produto de duas deltas:
e
Explicando a ideia: cada integral em
ou
“avaliza” a frequência quando seus argumentos se anulam, gerando um impulso (delta) naquelas coordenadas de frequência.
Passo 6
Substituindo
e
em
obtemos:
Interpretação física: a função cosseno espacial corresponde no domínio de frequência a dois impulsos (spikes) localizados nas frequências
e
, cada um com amplitude
. Isso reflete que um cosseno é a soma de duas ondas complexas com frequências opostas.
Passo 7
Observações didáticas e exemplos simples:
- Em 1D, a analogia é que
tem transformada . Aqui apenas estendemos para 2D e usamos produto de deltas para as duas coordenadas. - Importante: o resultado é uma distribuição (contém deltas), não uma função convencional; isso é esperado para sinais puramente sinusoidais infinitos em extensão.