A transformada de Fourier é versátil.
(a) Use a definição da transformada de Fourier para mostrar que se
é a transformada de Fourier de uma função
, então
(b) Use o resultado de (a) para mostrar que
(a) Use a definição da transformada de Fourier para mostrar que se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
- Mostrar, usando a definição da transformada de Fourier, que se
é a transformada de Fourier de então
- Usar o resultado do item (a) para mostrar que, para
,
Informações dadas/assumidas: podemos usar a definição usual da transformada de Fourier sem fatores
no expoente, isto é, tomaremos a definição
e também usaremos a fórmula de inversão correspondente
quando for necessário (pressupõe hipóteses de integrabilidade que o enunciado admite).
Passo 2
Definição escolhida e consequência imediata: pela definição da transformada de Fourier que usei,
Agora observe o caso
. Substituir
é legal e dá uma identidade simples que será exatamente o que o item (a) pede.
Passo 3
Avaliação em
: substituindo
na definição temos
Como
, isto simplifica para
Passo 4
Conclusão do item (a): a equação anterior já é exatamente o que se pedia. Então mostramos que, com a convenção adotada para a transformada,
Um resumo rápido do porquê (didático): a transformada é a integral de
multiplicada por
; quando
essa oscilação some e resta a integral pura de
.
Passo 5
Preparação para (b): vamos escolher uma função
Aqui assumimos
e
.]
Passo 6
Cálculo direto da transformada
dessa
: usando a definição,
Vamos integrar explicitamente: a primitiva de
em
é
(para
). Assim
Usando
(ou equivalentemente reescrevendo o numerador com sinais trocados) obtemos
(Para
interpretamos o limite:
, que coincide com
.)
Passo 7
Relacionando com a integral pedida: note que, trocando nomes de variáveis, a função
aparece diretamente em
. Em particular
Se integrarmos ambos os lados em
de
a
, obtemos a integral que queremos:
(Estou trocando a variável
do enunciado por
aqui por clareza; é a mesma integral impropriamente nomeada.)
Passo 8
Usando a fórmula de inversão para relacionar
com
: a fórmula de inversão que citamos no Passo 1 dá, tomando
,
Portanto
Passo 9
Aplicando o resultado do Passo 8 ao Passo 7: como
, substituindo
obtemos
Como escolhemos
igual a 1 em zero (a função indicadora de
tem
), segue
Passo 10
Conclusão final e comentário prático: portanto, para
(e sob as hipóteses usuais de integrabilidade que permitem usar a inversão), vale
Observação intuitiva: a integral não depende do valor numérico de
porque a escala em
cancela — a área total sob a função sinc escalada permanece
.