A transformada de Fourier é versátil.
(a) Use a definição da transformada de Fourier para mostrar que se F(u) é a transformada de Fourier de uma função f(x), então
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x=F(0) .
(b) Use o resultado de (a) para mostrar que
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(a x)}{x} \mathrm{~d} x=\pi .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  1. Mostrar, usando a definição da transformada de Fourier, que se F(u) é a transformada de Fourier de f(x) então
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = F(0).
  1. Usar o resultado do item (a) para mostrar que, para a>0,
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}\,\mathrm{d}x = \pi.
Informações dadas/assumidas: podemos usar a definição usual da transformada de Fourier sem fatores 2\pi no expoente, isto é, tomaremos a definição
F(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i u x}\,\mathrm{d}x,
e também usaremos a fórmula de inversão correspondente
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(u)\,e^{i u x}\,\mathrm{d}u,
quando for necessário (pressupõe hipóteses de integrabilidade que o enunciado admite).

Passo 2

Definição escolhida e consequência imediata: pela definição da transformada de Fourier que usei,
F(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i u x}\,\mathrm{d}x.
Agora observe o caso u=0. Substituir u=0 é legal e dá uma identidade simples que será exatamente o que o item (a) pede.

Passo 3

Avaliação em u=0: substituindo u=0 na definição temos
F(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\cdot 0\cdot x}\,\mathrm{d}x.
Como e^{0}=1, isto simplifica para
F(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Conclusão do item (a): a equação anterior já é exatamente o que se pedia. Então mostramos que, com a convenção adotada para a transformada,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = F(0).
Um resumo rápido do porquê (didático): a transformada é a integral de f(x) multiplicada por e^{-iux}; quando u=0 essa oscilação some e resta a integral pura de f.

Passo 5

Preparação para (b): vamos escolher uma função f\) simples cuja transformada produza \(\operatorname{sen}(a x)/x\). A escolha clássica e eficiente é a função indicadora do intervalo \([-a,a]\), ou seja \[f(t)=\begin{cases}1,& t\in[-a,a],\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
Aqui assumimos a>0\]. Note que \(f(0)=1 e \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 2a.]

Passo 6

Cálculo direto da transformada F(u) dessa f: usando a definição,
F(u)=\int_{-a}^{a} e^{-i u t}\,\mathrm{d}t.
Vamos integrar explicitamente: a primitiva de e^{-i u t} em t é (-1/(i u))e^{-i u t} (para u\neq 0). Assim
F(u)=\left[\frac{e^{-i u t}}{-i u}\right]_{t=-a}^{t=a} = \frac{e^{-i u a}-e^{i u a}}{-i u}.
Usando e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta (ou equivalentemente reescrevendo o numerador com sinais trocados) obtemos
F(u)=\frac{2\operatorname{sen}(u a)}{u}.
(Para u=0 interpretamos o limite: \lim_{u\to 0}2\operatorname{sen}(u a)/u = 2a, que coincide com F(0)=\int_{-a}^{a}1\,\mathrm{d}t=2a.)

Passo 7

Relacionando com a integral pedida: note que, trocando nomes de variáveis, a função u\mapsto \dfrac{\operatorname{sen}(a u)}{u} aparece diretamente em F(u). Em particular
\frac{\operatorname{sen}(a u)}{u}=\frac{1}{2}F(u).
Se integrarmos ambos os lados em u de -\infty a \infty, obtemos a integral que queremos:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(a u)}{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} F(u)\,\mathrm{d}u.
(Estou trocando a variável x do enunciado por u aqui por clareza; é a mesma integral impropriamente nomeada.)

Passo 8

Usando a fórmula de inversão para relacionar \displaystyle\int F(u)\,\mathrm{d}u com f(0): a fórmula de inversão que citamos no Passo 1 dá, tomando x=0,
f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(u)\,e^{i u\cdot 0}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(u)\,\mathrm{d}u.
Portanto
\int_{-\infty}^{\infty} F(u)\,\mathrm{d}u = 2\pi f(0).

Passo 9

Aplicando o resultado do Passo 8 ao Passo 7: como \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(a u)}{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} F(u)\,\mathrm{d}u, substituindo \int F=\;2\pi f(0) obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(a u)}{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\cdot 2\pi f(0) = \pi f(0).
Como escolhemos f igual a 1 em zero (a função indicadora de [-a,a] tem f(0)=1), segue
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(a u)}{u}\,\mathrm{d}u = \pi.

Passo 10

Conclusão final e comentário prático: portanto, para a>0 (e sob as hipóteses usuais de integrabilidade que permitem usar a inversão), vale
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}\,\mathrm{d}x = \pi.
Observação intuitiva: a integral não depende do valor numérico de a>0 porque a escala em x cancela — a área total sob a função sinc escalada permanece \pi.

Resposta

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = F(0).
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}\,\mathrm{d}x = \pi.

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