Suponha que
seja a transformada de Fourier de um sinal real 1D
. Prove as seguintes afirmações, em que o sobrescrito * denota o conjugado complexo.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a prova da afirmação:
- É dado um sinal real 1D
, isto é, para todo temos que é um número real. -
é par, isto é, para todo . - A transformada de Fourier de
é . Aqui vamos usar a definição
- O sobrescrito
denota conjugado complexo: se então .
O objetivo: provar que, sob essas hipóteses,
.
Passo 2
Escrevo a definição do conjugado complexo de
e uso a propriedade de conjugação de integrais:
Uma propriedade elementar é que o conjugado de uma integral (quando tudo é integrável) é a integral do conjugado, isto é,
Aplicando aqui, obtemos
Passo 3
Agora uso que o conjugado do produto é o produto dos conjugados e que
é real, então
. Além disso, o conjugado da exponencial complexa inverte o sinal da parte imaginária:
Portanto
Passo 4
Faço a mudança de variável
na integral obtida. Detalhes da mudança:
- Se
varia de a , então varia de a . - Temos
.
Aplicando isso,
Passo 5
Usando que
é par, ou seja
, a integral do passo anterior fica
Mas a última expressão é exatamente a definição de
. Portanto juntando os passos temos