Suponha que F(u) seja a transformada de Fourier de um sinal real 1D f(x), F(u)=\mathcal{F}[f(x)]. Prove as seguintes afirmações, em que o sobrescrito * denota o conjugado complexo.
Se f(x)=f(-x), então F^{*}(u)=F(u).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a prova da afirmação:
  • É dado um sinal real 1D f(x), isto é, para todo x temos que f(x) é um número real.
  • f(x) é par, isto é, \,f(x)=f(-x)\, para todo x.
  • A transformada de Fourier de f é F(u)=\mathcal{F}[f(x)]. Aqui vamos usar a definição
F(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-2\pi i u x}\,dx.
  • O sobrescrito {}^* denota conjugado complexo: se z=a+ib então z^*=a-ib.
O objetivo: provar que, sob essas hipóteses, \;F^{*}(u)=F(u).

Passo 2

Escrevo a definição do conjugado complexo de F(u) e uso a propriedade de conjugação de integrais:
F^{*}(u)=\left(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-2\pi i u x}\,dx\right)^{*}.
Uma propriedade elementar é que o conjugado de uma integral (quando tudo é integrável) é a integral do conjugado, isto é,
\left(\int g(x)\,dx\right)^{*}=\int g(x)^{*}\,dx.
Aplicando aqui, obtemos
F^{*}(u)=\int_{-\infty}^{\infty} \bigl(f(x)\,e^{-2\pi i u x}\bigr)^{*}\,dx.

Passo 3

Agora uso que o conjugado do produto é o produto dos conjugados e que f(x) é real, então f(x)^{*}=f(x). Além disso, o conjugado da exponencial complexa inverte o sinal da parte imaginária:
\bigl(e^{-2\pi i u x}\bigr)^{*}=e^{2\pi i u x}.
Portanto
F^{*}(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{2\pi i u x}\,dx.

Passo 4

Faço a mudança de variável y=-x na integral obtida. Detalhes da mudança:
  • Se x varia de -\infty a +\infty, então y=-x varia de +\infty a -\infty.
  • Temos dx=-dy.
    Aplicando isso,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{2\pi i u x}\,dx =\int_{\infty}^{-\infty} f(-y)\,e^{-2\pi i u y}\,(-dy) =\int_{-\infty}^{\infty} f(-y)\,e^{-2\pi i u y}\,dy.

Passo 5

Usando que f é par, ou seja f(-y)=f(y), a integral do passo anterior fica
\int_{-\infty}^{\infty} f(-y)\,e^{-2\pi i u y}\,dy =\int_{-\infty}^{\infty} f(y)\,e^{-2\pi i u y}\,dy.
Mas a última expressão é exatamente a definição de F(u). Portanto juntando os passos temos
F^{*}(u)=F(u).

Resposta

F^{*}(u)=F(u)

Exercícios relacionados