Encontre as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções.
F(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s^{5 / 2}};

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s^{5/2}}.
Vamos usar a linearidade da transformada inversa e a propriedade
\mathcal{L}\{t^{\alpha}\}(s) =\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}},
onde \Gamma é a função Gamma.

Passo 2

Primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{1}{s}\Bigr) =1,
pois sabemos que \mathcal{L}\{1\}(s)=1/s.

Passo 3

Segundo termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(s^{-5/2}\Bigr)
corresponde a \alpha+1=5/2, ou seja \alpha=3/2. Da fórmula acima,
\mathcal{L}\{t^{3/2}\}(s) =\frac{\Gamma(3/2+1)}{s^{5/2}} =\frac{\Gamma(5/2)}{s^{5/2}}.
Logo
\mathcal{L}^{-1}\bigl(s^{-5/2}\bigr) =\frac{t^{3/2}}{\Gamma(5/2)}.

Passo 4

Faltava só calcular \Gamma(5/2). Usando
\Gamma\bigl(\tfrac52\bigr) =\frac32\cdot\frac12\;\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) =\frac{3}{4}\sqrt{\pi},
temos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{2}{s^{5/2}}\Bigr) =2\;\frac{t^{3/2}}{\Gamma(5/2)} =2\;\frac{t^{3/2}}{\tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}} =\frac{8}{3\sqrt{\pi}}\,t^{3/2}.

Passo 5

Pela linearidade,
f(t) =\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{1}{s}\Bigr) -\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{2}{s^{5/2}}\Bigr) =1-\frac{8}{3\sqrt{\pi}}\,t^{3/2}.

Resposta

f(t)=1-\frac{8}{3\sqrt{\pi}}\,t^{3/2}.

Exercícios relacionados