Aplique a definição de transformada de Laplace para encontrar diretamente as transformada de Laplace das funções descritas abaixo.
f(t)=\sin (3 t) \cos (3 t);

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\sin(3t)\,\cos(3t).
O conteúdo é transformada de Laplace e precisaremos usar a definição integral

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(3t)\cos(3t)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica
\sin(a)\cos(a)=\tfrac12\sin(2a),
com a=3t. Logo
\sin(3t)\cos(3t)=\tfrac12\sin(6t)
e a integral vira
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac12\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(6t)\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Recordamos a fórmula básica
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(at)\,\mathrm{d}t=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \quad s>0.

Passo 5

Substituindo a=6 e o fator \tfrac12, obtemos
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac12\cdot\frac{6}{s^{2}+6^{2}} =\frac{3}{s^{2}+36}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{s^{2}+36},\quad s>0.

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