Aplique a definição de transformada de Laplace para encontrar diretamente as transformada de Laplace das funções descritas abaixo.
f(t)=\sin ^{2}(t);

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \sin^2(t) usando diretamente a definição
\mathcal{L}\{\sin^2(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin^2(t)\,dt.
O conteúdo aqui é a definição de transformada de Laplace e vamos precisar conhecer uma identidade trigonométrica para simplificar a integral. Assumimos s>0 para garantir a convergência.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\sin^2(t)=\frac{1-\cos(2t)}{2},
que permite transformar o integrando em termos de funções exponenciais simples e cosseno.

Passo 3

Substituindo essa identidade na integral da definição, obtemos
\mathcal{L}\{\sin^2(t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin^2(t)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt -\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt.

Passo 4

Calculamos separadamente cada integral:
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s},
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt =\frac{s}{s^2+4},
onde usamos a forma padrão \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(\omega t)\,dt=\frac{s}{s^2+\omega^2}.

Passo 5

Voltando à combinação,
\mathcal{L}\{\sin^2(t)\}(s) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s} -\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^2+4} =\frac{1}{2s}-\frac{s}{2\,(s^2+4)}.
Para simplificar, colocamos no mesmo denominador:
\frac{1}{2s}-\frac{s}{2\,(s^2+4)} =\frac{s^2+4 - s^2}{2s\,(s^2+4)} =\frac{4}{2s\,(s^2+4)} =\frac{2}{s\,(s^2+4)}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{\sin^2(t)\}(s)=\frac{1}{2s}-\frac{s}{2\,(s^2+4)} =\frac{2}{s\,(s^2+4)},\quad s>0.}

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