Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.\n
Informações dadas: a função é definida para
.\n
Objetivo: calcular , indicando a condição de convergência em
.
Informações dadas: a função é
Objetivo: calcular
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (aqui explico como funciona para você lembrar na prova).\n
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é, em geral, um número complexo e a integral converge para valores de
suficientes grandes (normalmente
para funções que crescem no máximo exponencialmente).\n
Uma propriedade muito útil é a linearidade:
Uma propriedade muito útil é a linearidade:
para constantes
. Essa propriedade permite decompor funções em partes mais simples.
Passo 3
Transformação trigonométrica que simplifica o integrando.\n
Usamos a identidade trigonométrica (bem conhecida e útil em provas):
Usamos a identidade trigonométrica (bem conhecida e útil em provas):
Aplicando com
obtemos
Essa identidade é usada porque a transformada de Laplace de constantes e de cossenos é direta.
Passo 4
Aplicando linearidade da transformada à decomposição encontrada.\n
Pelo passo anterior,
Pelo passo anterior,
Agora vamos calcular separadamente
e
.
Passo 5
Cálculo de
.\n
Pela definição,
Pela definição,
Assumindo
a integral converge e fazemos a primitiva:
Portanto,
Passo 6
Cálculo de
(explicação didática).\n
Uma forma elegante é usar a transformada de e tomar a parte real. Para
,
Uma forma elegante é usar a transformada de
A função
é a parte real de
, então
Calculando a parte real de
:
Assim, para
,
Passo 7
Combinação das partes e simplificação final.\n
Voltando à expressão do passo 4:
Voltando à expressão do passo 4:
Colocando em um único quociente:
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