Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. ( a, b, k, \omega, \theta são constantes.)
\operatorname{sen}^{2} 4 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \sin^{2} 4t.\n
Informações dadas: a função é f(t)=\sin^{2} 4t definida para t\ge 0.\n
Objetivo: calcular \mathcal{L}\{\sin^{2} 4t\}(s), indicando a condição de convergência em s.

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (aqui explico como funciona para você lembrar na prova).\n
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo e a integral converge para valores de \Re(s) suficientes grandes (normalmente \Re(s)>0 para funções que crescem no máximo exponencialmente).\n
Uma propriedade muito útil é a linearidade:
\mathcal{L}\{A f(t)+B g(t)\}(s)=A\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+B\mathcal{L}\{g(t)\}(s),
para constantes A,B. Essa propriedade permite decompor funções em partes mais simples.

Passo 3

Transformação trigonométrica que simplifica o integrando.\n
Usamos a identidade trigonométrica (bem conhecida e útil em provas):
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Aplicando com x=4t obtemos
\sin^{2}4t=\frac{1-\cos(8t)}{2}.
Essa identidade é usada porque a transformada de Laplace de constantes e de cossenos é direta.

Passo 4

Aplicando linearidade da transformada à decomposição encontrada.\n
Pelo passo anterior,
\mathcal{L}\{\sin^{2}4t\}(s)=\mathcal{L}\left\{\frac{1-\cos(8t)}{2}\right\}(s) =\frac{1}{2}\mathcal{L}\{1\}(s)-\frac{1}{2}\mathcal{L}\{\cos(8t)\}(s).
Agora vamos calcular separadamente \mathcal{L}\{1\}(s) e \mathcal{L}\{\cos(8t)\}(s).

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{1\}(s).\n
Pela definição,
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Assumindo \Re(s)>0 a integral converge e fazemos a primitiva:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=0- \left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s}.
Portanto,
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \Re(s)>0.

Passo 6

Cálculo de \mathcal{L}\{\cos(8t)\}(s) (explicação didática).\n
Uma forma elegante é usar a transformada de e^{i a t} e tomar a parte real. Para a\in\mathbb{R},
\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{i a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)t}\,dt=\frac{1}{s-i a},\qquad \Re(s)>0.
A função \cos(at) é a parte real de e^{i a t}, então
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\Re\!\left(\frac{1}{s-i a}\right).
Calculando a parte real de 1/(s-i a):
\frac{1}{s-i a}=\frac{s+i a}{s^{2}+a^{2}}\quad\Rightarrow\quad \Re\!\left(\frac{1}{s-i a}\right)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Assim, para a=8,
\mathcal{L}\{\cos(8t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+8^{2}}=\frac{s}{s^{2}+64},\qquad \Re(s)>0.

Passo 7

Combinação das partes e simplificação final.\n
Voltando à expressão do passo 4:
\mathcal{L}\{\sin^{2}4t\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+64}.
Colocando em um único quociente:
\mathcal{L}\{\sin^{2}4t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+64}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s^{2}+64)-s^{2}}{s(s^{2}+64)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{64}{s(s^{2}+64)}.
Logo
\mathcal{L}\{\sin^{2}4t\}(s)=\frac{32}{s(s^{2}+64)},\qquad \Re(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin^{2}4t\}(s)=\frac{32}{s\bigl(s^{2}+64\bigr)},\qquad \Re(s)>0

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