Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. ( a, b, k, \omega, \theta são constantes.)
e^{-t} \operatorname{senh} 5 t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função \;e^{-t}\operatorname{senh}5t\;.\n
Informações dadas: as constantes a,b,k,\omega,\theta aparecem no enunciado geral, mas aqui só usamos o parâmetro numérico 5 dentro de \operatorname{senh}5t. Não há outras condições explícitas, então vamos assumir a definição usual da transformada de Laplace para t\ge0.

Passo 2

Definição e fórmulas úteis (explicadas de forma didática):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui f(t) é a função no tempo (variável t), s é a variável complexa da transformada, e a integral é imprópria: converge apenas para valores de s em que o integrando decai rápido o suficiente (essa condição chamamos de região de convergência).
Outra fórmula que vamos usar (uma propriedade muito prática):
se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então para qualquer constante a
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a).
Explicação: multiplicar f(t) por e^{at} equivale, na transformada, a deslocar a variável s para s-a. Isso vem diretamente da definição:
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}e^{at}f(t)\,dt=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}f(t)\,dt=F(s-a).
Também usamos a transformada padrão da função hiperbólica \operatorname{senh} (sinh):
\operatorname{senh} bt=\operatorname{sinh}(bt)=\frac{e^{bt}-e^{-bt}}{2},
e
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}bt\}(s)=\frac{b}{s^{2}-b^{2}},\quad \text{para }\Re(s)>|b|.
Aqui b é uma constante; a condição \Re(s)>|b| garante convergência.

Passo 3

Aplicando a propriedade de deslocamento ao nosso caso:
a função é \;e^{-t}\operatorname{senh}5t\;. Identificamos a=-1 e f(t)=\operatorname{senh}5t. Como
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}5t\}(s)=\frac{5}{s^{2}-25},
pela propriedade de deslocamento obtemos
\mathcal{L}\{e^{-t}\operatorname{senh}5t\}(s)=\frac{5}{(s-(-1))^{2}-25}=\frac{5}{(s+1)^{2}-25}.
Agora simplificamos o denominador:
(s+1)^{2}-25 = s^{2}+2s+1-25 = s^{2}+2s-24.
Podemos fatorar:
s^{2}+2s-24=(s+6)(s-4).
Portanto a expressão fica
\mathcal{L}\{e^{-t}\operatorname{senh}5t\}(s)=\frac{5}{(s+6)(s-4)}.
Sobre a região de convergência: a transformada de \operatorname{senh}5t exige \Re(s)>5; pelo deslocamento s\mapsto s+1 a condição fica \Re(s)+1>5, ou seja \Re(s)>4. Logo a expressão acima vale para \Re(s)>4.

Passo 4

Verificação por integração direta (útil para entender por que dá certo). Escrevemos \operatorname{senh}5t como diferença de exponenciais:
\operatorname{senh}5t=\frac{e^{5t}-e^{-5t}}{2}.
Então
e^{-t}\operatorname{senh}5t=\frac{e^{-t}(e^{5t}-e^{-5t})}{2}=\frac{e^{4t}-e^{-6t}}{2}.
Aplicando a definição:
\mathcal{L}\{e^{-t}\operatorname{senh}5t\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}\frac{e^{4t}-e^{-6t}}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-(s-4)t}\,dt-\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-(s+6)t}\,dt.
Cada integral é geométrica imprópria: para \Re(s-4)>0 e \Re(s+6)>0 (a mais restritiva é \Re(s-4)>0, i.e. \Re(s)>4),
\int_0^\infty e^{-(s-4)t}\,dt=\frac{1}{s-4},\qquad \int_0^\infty e^{-(s+6)t}\,dt=\frac{1}{s+6}.
Logo
\mathcal{L}\{e^{-t}\operatorname{senh}5t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-4}-\frac{1}{s+6}\right).
Colocando em denominador comum (s-4)(s+6):
\frac{1}{2}\left(\frac{s+6-(s-4)}{(s-4)(s+6)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{10}{(s-4)(s+6)}\right)=\frac{5}{(s+6)(s-4)}.
Isso confirma o resultado do passo anterior e a região de convergência \Re(s)>4.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{-t}\operatorname{senh}5t\}(s)=\frac{5}{(s+6)(s-4)},\quad \Re(s)>4

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