Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.\n
Informações dadas: as constantes aparecem no enunciado geral, mas aqui só usamos o parâmetro numérico
dentro de
. Não há outras condições explícitas, então vamos assumir a definição usual da transformada de Laplace para
.
Informações dadas: as constantes
Passo 2
Definição e fórmulas úteis (explicadas de forma didática):
Aqui
é a função no tempo (variável
),
é a variável complexa da transformada, e a integral é imprópria: converge apenas para valores de
em que o integrando decai rápido o suficiente (essa condição chamamos de região de convergência).
Outra fórmula que vamos usar (uma propriedade muito prática):
se , então para qualquer constante
se
Explicação: multiplicar
por
equivale, na transformada, a deslocar a variável
para
. Isso vem diretamente da definição:
Também usamos a transformada padrão da função hiperbólica
(sinh):
e
Aqui
é uma constante; a condição
garante convergência.
Passo 3
Aplicando a propriedade de deslocamento ao nosso caso:
a função é . Identificamos
e
. Como
a função é
pela propriedade de deslocamento obtemos
Agora simplificamos o denominador:
Podemos fatorar:
Portanto a expressão fica
Sobre a região de convergência: a transformada de
exige
; pelo deslocamento
a condição fica
, ou seja
. Logo a expressão acima vale para
.
Passo 4
Verificação por integração direta (útil para entender por que dá certo). Escrevemos
como diferença de exponenciais:
Então
Aplicando a definição:
Cada integral é geométrica imprópria: para
e
(a mais restritiva é
, i.e.
),
Logo
Colocando em denominador comum
:
Isso confirma o resultado do passo anterior e a região de convergência
.