(Uea 2024) Considere as funções polinomiais do 1^{\circ} grau f(x)=2 x+3 e g(x)=-x+6. Sobre essas funções, afirma-se que
a) possuem pontos de máximo.
b) sāo crescentes.
c) possuem dominios diferentes.
d) têm o ponto (1,5) em comum.
e) suas representações gráficas não se intersectam.

Passo 1

O enunciado dá as funções polinomiais do 1^{\circ} grau
f(x)=2x+3
e
g(x)=-x+6.
Peço que avaliemos as afirmações:
a) possuem pontos de máximo.
b) são crescentes.
c) possuem domínios diferentes.
d) têm o ponto (1,5) em comum.
e) suas representações gráficas não se intersectam.

Passo 2

Entendendo o que significa “domínio” aqui: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida.
Uma função polinomial (qualquer que seja o grau) está definida para todo número real. Logo o domínio de uma função polinomial de 1^{\circ} grau é todo o conjunto dos reais. Escrevendo em TeX:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\quad\text{e}\quad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}.
Portanto a afirmação (c) “possuem domínios diferentes” é falsa, pois ambos têm o mesmo domínio \mathbb{R}.

Passo 3

Vamos falar sobre “ponto de máximo”. Um ponto de máximo global de uma função é um ponto onde a função atinge o maior valor possível no seu domínio. Considere uma função linear geral \,h(x)=ax+b. Se a>0 então, quando x\to+\infty, h(x)\to+\infty; se a<0 então, quando x\to-\infty, h(x)\to+\infty. Em qualquer caso, uma reta não-constante não tem um maior valor finito sobre todo \mathbb{R} (ela cresce indefinidamente para um lado e decresce indefinidamente para o outro). Assim, uma função linear não-constante não tem ponto de máximo global (nem ponto de mínimo global, salvo restrição de domínio).
Aplicando a isso: \,f(x)=2x+3 tem a=2>0 e \,g(x)=-x+6 tem a=-1<0. Nenhuma das duas tem ponto de máximo sobre \mathbb{R}. Portanto a afirmação (a) é falsa.

Passo 4

Agora sobre “crescentes”: para uma função linear \,h(x)=ax+b, o critério de monotonicidade é simples: se a>0 então h é crescente; se a<0 então h é decrescente; se a=0 é constante. Isso vem diretamente da noção de que a taxa de variação (a inclinação) é a.
Aplicando:
\text{coeficiente de }f=2>0\Rightarrow f\text{ é crescente},é
\text{coeficiente de }g=-1<0\Rightarrow g\text{ é decrescente}.é
A afirmação (b) diz “são crescentes” (ou seja, ambas são crescentes). Como g não é crescente, (b) é falsa.

Passo 5

Verificando se (1,5) pertence a ambas as curvas (afirmação d) e se as retas se intersectam (afirmação e). Primeiro avaliando em x=1:
f(1)=2\cdot 1+3=2+3=5,
g(1)=-1+6=5.
Portanto (1,5) pertence às duas curvas, ou seja, é um ponto em comum. Uma outra forma — que normalmente usamos na prova quando querem o ponto de interseção — é resolver
2x+3=-x+6.
Resolvendo: -x passa para o outro lado dá 3x+3=6 (ou mais diretamente 2x+3+x-6=0\Rightarrow 3x-3=0); isolando x
3x=3\Rightarrow x=1,
e então y=f(1)=5. Logo o ponto de interseção é (1,5). Assim a afirmação (d) é verdadeira. Como as representações gráficas se intersectam nesse ponto, a afirmação (e) “não se intersectam” é falsa.

Passo 6

Resumo das verificações:
  • (a) falsa (retas não têm máximo global sobre \mathbb{R});
  • (b) falsa (apenas f é crescente, g é decrescente);
  • (c) falsa (ambos têm domínio \mathbb{R});
  • (d) verdadeira (ambas passam por (1,5));
  • (e) falsa (elas se intersectam em (1,5)).

Resposta

d

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