(Uea 2024) Considere as funções polinomiais do
grau
e
. Sobre essas funções, afirma-se que
a) possuem pontos de máximo.
b) sāo crescentes.
c) possuem dominios diferentes.
d) têm o ponto
em comum.
e) suas representações gráficas não se intersectam.
a) possuem pontos de máximo.
b) sāo crescentes.
c) possuem dominios diferentes.
d) têm o ponto
e) suas representações gráficas não se intersectam.
Passo 1
O enunciado dá as funções polinomiais do
grau
e
Peço que avaliemos as afirmações:
a) possuem pontos de máximo.
b) são crescentes.
c) possuem domínios diferentes.
d) têm o ponto em comum.
e) suas representações gráficas não se intersectam.
a) possuem pontos de máximo.
b) são crescentes.
c) possuem domínios diferentes.
d) têm o ponto
e) suas representações gráficas não se intersectam.
Passo 2
Entendendo o que significa “domínio” aqui: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Uma função polinomial (qualquer que seja o grau) está definida para todo número real. Logo o domínio de uma função polinomial de grau é todo o conjunto dos reais. Escrevendo em TeX:
Uma função polinomial (qualquer que seja o grau) está definida para todo número real. Logo o domínio de uma função polinomial de
Portanto a afirmação (c) “possuem domínios diferentes” é falsa, pois ambos têm o mesmo domínio
.
Passo 3
Vamos falar sobre “ponto de máximo”. Um ponto de máximo global de uma função é um ponto onde a função atinge o maior valor possível no seu domínio. Considere uma função linear geral
. Se
então, quando
,
; se
então, quando
,
. Em qualquer caso, uma reta não-constante não tem um maior valor finito sobre todo
(ela cresce indefinidamente para um lado e decresce indefinidamente para o outro). Assim, uma função linear não-constante não tem ponto de máximo global (nem ponto de mínimo global, salvo restrição de domínio).
Aplicando a isso: tem
e
tem
. Nenhuma das duas tem ponto de máximo sobre
. Portanto a afirmação (a) é falsa.
Aplicando a isso:
Passo 4
Agora sobre “crescentes”: para uma função linear
, o critério de monotonicidade é simples: se
então
é crescente; se
então
é decrescente; se
é constante. Isso vem diretamente da noção de que a taxa de variação (a inclinação) é
.
Aplicando:
Aplicando:
A afirmação (b) diz “são crescentes” (ou seja, ambas são crescentes). Como
não é crescente, (b) é falsa.
Passo 5
Verificando se
pertence a ambas as curvas (afirmação d) e se as retas se intersectam (afirmação e). Primeiro avaliando em
:
Portanto
pertence às duas curvas, ou seja, é um ponto em comum. Uma outra forma — que normalmente usamos na prova quando querem o ponto de interseção — é resolver
Resolvendo:
passa para o outro lado dá
(ou mais diretamente
); isolando
e então
. Logo o ponto de interseção é
. Assim a afirmação (d) é verdadeira. Como as representações gráficas se intersectam nesse ponto, a afirmação (e) “não se intersectam” é falsa.
Passo 6
Resumo das verificações:
- (a) falsa (retas não têm máximo global sobre
); - (b) falsa (apenas
é crescente, é decrescente); - (c) falsa (ambos têm domínio
); - (d) verdadeira (ambas passam por
); - (e) falsa (elas se intersectam em
).
Resposta
d