Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
(onde
).
Informações dadas: a função é e as letras
do enunciado são constantes genéricas, mas aqui a única constante relevante é que estamos multiplicando por
e usando
.
Objetivo claro: encontrar e explicitar as condições de convergência em
.
Informações dadas: a função é
Objetivo claro: encontrar
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e condição de convergência (aulas rápidas):
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
desde que a integral convirja. Para integrais do tipo
a convergência exige
, ou seja
. Vou usar isso quando encontrarmos exponenciais.
Passo 3
Uma identidade útil para
(revisão curta):
é definida por
Então, multiplicando por
obtemos:
Expliquei cada passo: primeiro substituí a definição de
e depois distribui
sobre a soma.
Passo 4
Aplicando linearidade da transformada de Laplace:
A transformada é linear, logo
A transformada é linear, logo
Agora uso a fórmula básica para exponenciais: para
constante,
desde que
. Essa integral é a integral de uma exponencial decrescente:
para
.
Passo 5
Calcular cada termo com
e
:
Pelo item anterior,
Pelo item anterior,
com as condições
para o primeiro e
para o segundo. Como queremos que ambos existam simultaneamente, a condição conjunta é
(o maior dos limites).
Portanto
Passo 6
Simplificação algébrica final (para deixar num único quociente):
Somando as frações:
Somando as frações:
Mantendo a condição de convergência já encontrada:
.