Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. ( a, b, k, \omega, \theta são constantes.)
e^{2 t} \operatorname{cosh} t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função \,e^{2t}\operatorname{cosh} t\, (onde t\ge 0).
Informações dadas: a função é \,f(t)=e^{2t}\operatorname{cosh} t e as letras a,b,k,\omega,\theta do enunciado são constantes genéricas, mas aqui a única constante relevante é que estamos multiplicando por e^{2t} e usando \operatorname{cosh} t.
Objetivo claro: encontrar \mathcal{L}\{e^{2t}\operatorname{cosh} t\}(s) e explicitar as condições de convergência em s.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e condição de convergência (aulas rápidas):
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
desde que a integral convirja. Para integrais do tipo \int_{0}^{\infty} e^{-(s-\alpha)t}dt a convergência exige \operatorname{Re}(s-\alpha)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(\alpha). Vou usar isso quando encontrarmos exponenciais.

Passo 3

Uma identidade útil para \operatorname{cosh} t (revisão curta):
\operatorname{cosh} t é definida por
\operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}.
Então, multiplicando por e^{2t} obtemos:
e^{2t}\operatorname{cosh} t = e^{2t}\cdot\frac{e^{t}+e^{-t}}{2} = \frac{e^{3t}+e^{t}}{2}.
Expliquei cada passo: primeiro substituí a definição de \operatorname{cosh} t e depois distribui e^{2t} sobre a soma.

Passo 4

Aplicando linearidade da transformada de Laplace:
A transformada é linear, logo
\mathcal{L}\{e^{2t}\operatorname{cosh} t\}(s)=\mathcal{L}\Big\{\frac{e^{3t}+e^{t}}{2}\Big\}(s)=\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)+\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{t}\}(s).
Agora uso a fórmula básica para exponenciais: para \alpha constante,
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{\alpha t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-\alpha)t}\,dt=\frac{1}{s-\alpha},
desde que \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(\alpha). Essa integral é a integral de uma exponencial decrescente: \int_{0}^{\infty} e^{-at}dt=1/a para \operatorname{Re}(a)>0.

Passo 5

Calcular cada termo com \alpha=3 e \alpha=1:
Pelo item anterior,
\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)=\frac{1}{s-3},\qquad \mathcal{L}\{e^{t}\}(s)=\frac{1}{s-1},
com as condições \operatorname{Re}(s)>3 para o primeiro e \operatorname{Re}(s)>1 para o segundo. Como queremos que ambos existam simultaneamente, a condição conjunta é \operatorname{Re}(s)>3 (o maior dos limites).
Portanto
\mathcal{L}\{e^{2t}\operatorname{cosh} t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}+\frac{1}{s-1}\right),\qquad \operatorname{Re}(s)>3.

Passo 6

Simplificação algébrica final (para deixar num único quociente):
Somando as frações:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}+\frac{1}{s-1}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(s-1)+(s-3)}{(s-3)(s-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2s-4}{(s-3)(s-1)}=\frac{s-2}{(s-3)(s-1)}.
Mantendo a condição de convergência já encontrada: \operatorname{Re}(s)>3.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{2t}\operatorname{cosh} t\}(s)=\frac{s-2}{(s-3)(s-1)},\qquad \operatorname{Re}(s)>3.

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